![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степеням), здесь z 0 – фиксированная точка комплексной плоскости.
Второе слагаемое
называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое
- главной частью ряда Лорана.
Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его регулярной и главной части.
Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией.
Î C¥(| z - z 0|< R 1).
Сделаем замену 1/(z - z 0)=x; главная часть ряда Лорана принимает вид . По теореме Абеля такой ряд сходится при
, что соответствует внешности круга
.
При R 2< R 1 существует общая область сходимости - круговое кольцо R 2<| z-z 0|< R 1.
Свойства степенного ряда, следующие из теоремы Абеля:
1. ÎC¥(R 2<| z - z 0|< R 1).
Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также аналитичны в том же кольце.
R 1 определяется через { c n}, n =0,1,2...,: R 1=1/L1, L1= или L1=
, а R2 - через {c -n }, n=1,2...,: R2=
, или R2=
.
4. Коэффициенты ряда Лорана c n через значения суммы ряда в точке z 0 не определяются! В точке z 0 сумма ряда Лорана не определена!
Пимеры:
,
,
,
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 486 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!