Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теорема Абеля



Теорема Абеля. Если степенной ряд S cn (z-z 0) n сходится в точке z 1 ¹ z 0, то он абсолютно сходится и при " z: | z-z 0|<| z 1- z 0 |, причем в замкнутом круге

| z - z 0|£r<| z 1- z 0| сходится равномерно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z: | z-z 0|<| z 1- z 0|. В силу необходимого условия сходимости ряда $ A>0: для " n | cn (z 1 -z 0) n |<A

Þ | cn |<A/| z 1- z 0| n Þ | cn (z - z 0) n |<A|(z - z 0)/(z 1- z 0)| n.

Но |(z - z 0)/(z 1- z 0)|= q <1 Þ |S cn (z - z 0) n |<AS qn Þ ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Þ сходится абсолютно.

При | z - z 0| £ r <| z 1- z 0| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |S cn (z - z 0) n | £ AS|r/(z 1- z 0)| n < AS qn, q <1 n

Следствия теоремы Абеля.
1. Если степенной ряд расходится в точке z 2 ¹ z 0, то он расходится и при " z: | z - z 0|>| z 2- z 0 |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r <| z - z 0 |, в частности и в точке z 2, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup| z 1- z 0 |=R для " z 1, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точки z 0 до точек z 1, в которых сходится ряд S cn (z - z 0) n.

Если R¹¥, то для " z 2: | z 2- z 0|>R ряд расходится. Þ R=inf| z 2- z 0 |=R для
" z 2, где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг | z - z 0|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0 - радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы| z - z 0|=Rможет как сходиться, так и расходиться.


3. Формула Коши-Адамара.

R=1/ L, L =


Доказательство.

Применяем радикальный признак Коши

Пусть сначала 0< L <¥,

Тогда ряд сходится при

Если L =0, то

т.о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

Если L =¥, то

т.о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т.о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т.е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости


4. В " круге | z - z 0|£r <R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса S cn (z - z 0)n= f (z)ÎC¥(| z - z 0|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!


6. S cn (z - z 0)n= f (z) Þ c 0= f (z 0), S c n+1(n+1)(z - z 0)n= f '(z) Þ c 1= f '(z 0)…
S cn+k (n+k)!(z - z 0)n= f (k)(z) Þ c k= f (k)(z 0)/k!


7. Пример. : " c n=1 Þ R=1.

Sn=[1-(z - z 0)n+1]/[1-(z - z 0)]; | z - z 0 |<1

=1/[1-(z - z 0)]. Þ =1/[1-(z - z 0)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования

по формуле Коши-Адамара R =1, на границе круга сходимости нет, т.к. модуль членов ряда не убывает ни для каких z.

по формуле Коши-Адамара R =1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (z =-1 ), а в других расходится (z =1 ),.

по формуле Коши-Адамара R =1, на границе круга ряд сходится, т.к. мажорируется сходящимся .

9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)


Итак S cn (z - z 0)n= f (z)ÎC¥(| z - z 0|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?


Ответ на этот вопрос дает





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 734 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...