Теорема Абеля

Теорема Абеля. Если степенной ряд S c_n (z-z ₀) ⁿ сходится в точке z ₁ ¹ z ₀, то он абсолютно сходится и при " z: | z-z ₀|<| z ₁- z ₀ |, причем в замкнутом круге

| z - z ₀|£r<| z ₁- z ₀| сходится равномерно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z: | z-z ₀|<| z ₁- z ₀|. В силу необходимого условия сходимости ряда $ A>0: для " n | c_n (z ₁ -z ₀) ⁿ |<A

Þ | c_n |<A/| z ₁- z ₀| ⁿ Þ | c_n (z - z ₀) ⁿ |<A|(z - z ₀)/(z ₁- z ₀)| ⁿ.

Но |(z - z ₀)/(z ₁- z ₀)|= q <1 Þ |S c_n (z - z ₀) ⁿ |<AS qⁿ Þ ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Þ сходится абсолютно.

При | z - z ₀| £ r <| z ₁- z ₀| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |S c_n (z - z ₀) ⁿ | £ AS|r/(z ₁- z ₀)| ⁿ < AS qⁿ, q <1 n

Следствия теоремы Абеля.
1. Если степенной ряд расходится в точке z ₂ ¹ z ₀, то он расходится и при " z: | z - z ₀|>| z ₂- z ₀ |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r <| z - z ₀ |, в частности и в точке z ₂, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup| z ₁- z ₀ |=R для " z ₁, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точки z ₀ до точек z ₁, в которых сходится ряд S c_n (z - z ₀) ⁿ.

Если R¹¥, то для " z ₂: | z ₂- z ₀|>R ряд расходится. Þ R=inf| z ₂- z ₀ |=R для
" z ₂, где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг | z - z ₀|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0 - радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы| z - z ₀|=Rможет как сходиться, так и расходиться.

3. Формула Коши-Адамара.

R=1/ L, L =

Доказательство.

Применяем радикальный признак Коши

Пусть сначала 0< L <¥,

Тогда ряд сходится при

Если L =0, то

т.о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

Если L =¥, то

т.о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т.о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т.е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

4. В " круге | z - z ₀|£r <R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса S c_n (z - z ₀)ⁿ= f (z)ÎC^¥(| z - z ₀|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!

6. S c_n (z - z ₀)ⁿ= f (z) Þ c ₀= f (z ₀), S c _n+1(n+1)(z - z ₀)ⁿ= f '(z) Þ c ₁= f '(z ₀)…
S c_n+k (n+k)!(z - z ₀)ⁿ= f ^(k)(z) Þ c _k= f ^(k)(z ₀)/k!

7. Пример. : " c _n=1 Þ R=1.

S_n=[1-(z - z ₀)ⁿ⁺¹]/[1-(z - z ₀)]; | z - z ₀ |<1

=1/[1-(z - z ₀)]. Þ =1/[1-(z - z ₀)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования

по формуле Коши-Адамара R =1, на границе круга сходимости нет, т.к. модуль членов ряда не убывает ни для каких z.

по формуле Коши-Адамара R =1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (z =-1 ), а в других расходится (z =1 ),.

по формуле Коши-Адамара R =1, на границе круга ряд сходится, т.к. мажорируется сходящимся .

9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)

Итак S c_n (z - z ₀)ⁿ= f (z)ÎC^¥(| z - z ₀|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает