Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теорема Тейлора



Теорема Тейлора. Если f (z)ÎC¥(| z - z 0|<R), то $! степенной ряд

S cn (z - z 0)n => f (z) при | z - z 0|<R.

Доказательство. Возьмем " z: | z - z 0|<R и построим Cr - окружность радиуса r с центром в точке z 0 и содержащую точку z внутри:
для "xÎ Cr: | x - z 0|=r, r<R, |x - z 0|>| z-z 0|.

Т.к. f(z) ÎC¥(| z - z 0|<r), то по интегральной формуле Коши ;

Преобразуем подынтегральное выражение

Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь | z-z 0|/|x - z 0|<1. "xÎ Cr ряд сходится равномерно по x, так как мажорируется сходящимся числовым рядом

f (z)= ;

cn = = f (n)(z 0)/ n!, что и доказывает $ и единственность разложения. n


Замечания 1) Разложение функции f (z)= S cn (z - z 0) n называют разложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши cn = , где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z 0, целиком лежащий в области аналитичности функции.

Пример.

;

Þ

.





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 300 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...