 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теорема Тейлора
|
|
Теорема Тейлора. Если f (z)ÎC¥(| z - z 0|<R), то $! степенной ряд
S cn (z - z 0)n => f (z) при | z - z 0|<R.
Доказательство. Возьмем " z: | z - z 0|<R и построим Cr - окружность радиуса r с центром в точке z 0 и содержащую точку z внутри:
для "xÎ Cr: | x - z 0|=r, r<R, |x - z 0|>| z-z 0|.
Т.к. f(z) ÎC¥(| z - z 0|<r), то по интегральной формуле Коши 
;
Преобразуем подынтегральное выражение
Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь | z-z 0|/|x - z 0|<1. "xÎ Cr ряд сходится равномерно по x, так как мажорируется сходящимся числовым рядом 
f (z)= 
;
cn = 
= f (n)(z 0)/ n!, что и доказывает $ и единственность разложения. n
Замечания 1) Разложение функции f (z)= S cn (z - z 0) n называют разложением функции в ряд Тейлора.
2) По теореме Коши cn = 
, где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z 0, целиком лежащий в области аналитичности функции.
Пример.
; 
…
Þ
.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 300 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
