Коротке замикання в колі з резистором і котушкою

Рис. 2

Досліджуємо електромагнітні процеси в колі, зображеної на рис. 2, що відбуваються після замикання ключа.

Розрахуємо усталений режим у колі до комутації (до замикання ключа) і визначимо з нього незалежна початкова умова — струм у котушці в момент t = 0_-

.

Знайдемо усталений струм i після комутації. Тому що в знову утвореному контурі з котушки L і резистора R немає джерела, то

.

Для визначення вільної складової струму запишемо по другому законі Кирхгофа рівняння електричного стану кола після комутації:

Характеристичне рівняння має вигляд:

.

Загальне рішення рівняння для вільної складової:

,

де: А – постійна інтегрування;

, c^-1 – корінь характеристичного рівняння.

Корінь характеристичного рівняння p – коеффіцієнт затухання функції.

Записавши загальний вид перехідного струму котушки

i = i _вим + i _віл = A e^pt,

прирівнюємо його значення i (0₊) = A у момент t =(0₊) до значення i (0_-), знайденому в п. 1. Одержуємо шукану константу

i (0) = i _вим(0) + i _віл(0)

E / (R _вн + R) = 0 + A

A = E / (R _вн + R) = I ₀.

Перехідний струм i = i _вим + i _вілпри цьому дорівнює

=

де τ = L / R – стала часу кола.

Стала часу – це час, протягом якого вільна складова процесу зменшується в е = 2,72 раз в порівнянні з початковим значенням.

Рис. 3

Графік зміни перехідного струму показаний на рис. 3.

Визначимо е.р.с. самоіндукції котушки t ≥ 0

= – = – = – = –

У момент комутації ця е.р.с. дорівнює напрузі на опорі R, а надалі зменшується за експоненційним законом. На підставі викладеного можна зробити наступні висновки.

1. При короткому замиканні в розглянутому колі струм у ній змінюється за експоненційним законом, зменшуючись від початкового значення до нуля.

2. Швидкість зміни струму визначається постійною часу кола , що дорівнює індуктивності котушки, діленої на активний опір кола.

3. Практично можна вважати, що перехідний процес закінчується при t ≈ (3...5)τ, коли первісне значення струму зменшується по модулю на порядок.

4. Напруга на котушці в початковий момент часу дорівнює напрузі на активному опорі:

.

5. З енергетичної точки зору розглянутий перехідний процес характеризується витратою енергії магнітного поля котушки на теплові втрати в резисторі. Слід зазначити, що опір резистора впливає не на кількість виділеної теплоти W, а на початкове значення струму через котушку й тривалість процесу. Оскільки після комутації кількість енергії W →0, струм до комутації – , після комутації його значення змінилось. Справді