Зв'язок миттєвих значень напруг і струмівна елементах електричного кола

Учебно-методический комплекс

Редактор: Н.В. Мариничева

Сводный темплан 2009 г.

Лицензия ЛР № 020308 от 14.12.97

_____________________________________________________________________

Подписано в печать Формат 60x84 1/16

Б. кн.-журн. П.л. 10,5 Б.л. 5,25

Тираж экз. Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет

РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации вузов

Санкт-Петербурга

191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5

Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Вступ

Під перехідним (динамічним, нестаціонарним) процесом або режимом в електричних колах розуміється процес переходу кола з одного усталеного стану (режиму) в інший. При сталих, або стаціонарних, режимах у колах постійного струму напруги й струми незмінні в часі, а в колах змінного струму вони являють собою періодичні функції часу. Сталі режими при заданих і незмінних параметрах кола повністю визначаються тільки джерелом енергії. Отже, джерела постійної напруги (або струму) створюють у колі постійний струм, а джерела змінної напруги (або струму) – змінний струм тієї ж частоти, що й частота джерела енергії.

Перехідні процеси виникають при будь-яких змінах режиму електричного кола: при підключенні й відключенні кола, при зміні навантаження, при виникненні аварійних режимів (коротке замикання, обрив проводу й т.д.). Зміни в електричному колі можна представити у вигляді тих або інших перемикань, названих у загальному випадку комутацією. Фізично перехідні процеси являють собою процеси переходу від енергетичного стану, що відповідає докомутаційному режиму, до енергетичного стану, що відповідає після комутаційному режиму.

Перехідні процеси зазвичай протікають швидко: тривалість їх становить десяті, соті долі секунди. Порівняно рідко тривалість перехідних процесів досягає секунд і десятків секунд. Проте вивчення перехідних процесів досить важливо, тому що це дозволяє встановити, як деформується за формою й амплітудою сигнал, виявити перевищення напруги на окремих ділянках кола, які можуть виявитися небезпечними для ізоляції установки, збільшення амплітуд струмів, які можуть у десятки разів перевищувати амплітуду струму сталого періодичного процесу, а також визначати тривалість перехідного процесу. З іншого боку, робота багатьох електротехнічних пристроїв, особливо пристроїв промислової електроніки, заснована на перехідних процесах.

У загальномувипадку в електричному колі перехідні процеси можуть виникати, якщо в колі є індуктивні і ємнісні елементи, які володіють здатністю накопичувати та віддавати енергію магнітного або електричного поля. За час перехідного процесу відбувається перерозподіл енергії між реактивними (індуктивними та ємнісними) елементами кола й зовнішніми джерелами енергії, під’єднаними до кола. При цьому частина енергії безповоротно перетвориться в інші види енергії (наприклад, у теплову на активному опорі).

Після закінчення перехідного процесу встановлюється новий усталений режим, що визначається тільки зовнішніми джерелами енергії. При відмиканні зовнішніх джерел енергії перехідний процес може виникати за рахунок енергії електромагнітного поля, накопиченої до початку перехідного режиму в індуктивних й ємнісних елементах кола.

Зміни енергії магнітного й електричного полів у момент комутації не можуть відбуватися миттєво, а, отже, не можуть миттєво протікати процеси в момент перемикання. Стрибкоподібна (миттєва) зміна енергії в індуктивному і ємнісному елементі приводить до необхідності накопичення нескінченно великої потужності , що практично неможливо, тому що в реальних електричних колах нескінченно великої потужності не існує.

Таким чином, перехідні процеси не можуть протікати миттєво, оскільки неможливо миттєво змінювати енергію, накопичену в електромагнітному полі кола. Теоретично перехідні процеси закінчуються за час . Практично ж перехідні процеси протікають швидко, і їхня тривалість зазвичай становить долі секунди. Оскільки енергія магнітного й електричного полів описується виразами

; W _Е = ;

то струм в індуктивності й напруга на ємності не можуть змінюватися миттєво. На цьому засновані закони комутації.

Перший закон комутації полягає в тому, що струм у вітці з індуктивним елементом у початковий момент часу після комутації має те ж значення, яке він мав безпосередньо перед комутацією, а потім із цього значення він починає плавно змінюватися. Сказане зазвичай записують у вигляді , уважаючи, що комутація відбувається миттєво в момент .

Другий закон комутації полягає в тому, що напруга на ємнісному елементі в початковий момент після комутації має те ж значення, яке воно мало безпосередньо перед комутацією, а потім із цього значення воно починає плавно змінюватися: .

Таким чином, наявність вітки з індуктивністю, у колі до якого подається напруга, рівносильна розриву кола в цьому місці в момент комутації, тому що . Наявність у колі, до якого подається напруга, вітки, що містить розряджений конденсатор, рівносильна короткому замиканню в цьому місці в момент комутації, тому що .

Отже в електричному колі можливі перепади напруг на індуктивностях і струмів на ємностях.

В електричних колах тільки з резистивними елементами енергія електромагнітного поля не запасається, внаслідок чого в них перехідні процеси не виникають, тобто в таких колах стаціонарні режими встановлюються миттєво, стрибком.

У дійсності будь-який елемент кола має якийсь опір , індуктивність й ємність , тобто в реальних електротехнічних пристроях існують теплові втрати, обумовлені проходженням струму й наявністю опору , а також магнітні й електричні поля.

Перехідні процеси в реальних електротехнічних пристроях можна прискорювати або сповільнювати шляхом підбору відповідних параметрів елементів кола, а також за рахунок застосування спеціальних пристроїв.

1. КЛАСИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ПЕРЕХІДНИХ
ПРОЦЕСІВ

Задача дослідження перехідних процесів полягає в тому, щоб з'ясувати, за яким законом й як довго буде спостерігатися помітне відхилення струмів у вітках і напруг на ділянках кола від їхніх сталих значень. Так, наприклад, якщо в досліджуваній вітці деякого кола до комутації існував постійний струм , а в сталому режимі після комутації він став , то нас буде цікавити закон зміни перехідного струму між моментом комутації () і тим невідомим нам моментом часу , коли перехідний процес можна вважати завершеним.

При аналізі перехідних процесів в електричних колах приймають наступні припущення:

1. Рубильники включаються й розмикаються миттєво, без виникнення електричної дуги;

2. Час перехідного процесу, який теоретично триває нескінченно, обмежують умовною межею – тривалістю перехідного процесу; перехідний режим асимптотично наближається до нового режиму, що встановився;

3. Усталений режим після комутації розраховують при теоретичній умові , тобто коли після комутації минув нескінченно великий час.

Усталений режим до комутації розраховують зазвичай в припущенні, що до моменту комутації в колі закінчився попередній перехідний процес. Хоча іноді доводиться аналізувати перехідні процеси, які виникають у колі, коли попередній перехідний процес, викликаний колишніми комутаціями, ще не закінчився. Але це не змінює теоретичну постановку задачі.

Таблиця 1.1.

Зв'язок миттєвих значень напруг і струмівна елементах електричного кола

Резистор (ідеальний активний опір)	Котушка індуктивності (ідеальна індуктивність)	Конденсатор (ідеальна ємність)

Аналіз перехідних процесів проводять шляхом розв’язання диференціальних рівнянь, складених для досліджуваного електричного кола на основі законів Кірхгофа або методу контурних струмів.

Рис. 1

Розглянемо заряд конденсатора для кола зображеного на рис.1,а. Електричний стан кола після комутації (рис.1,б) описується диференційним рівнянням, записаним на підставі II закону Кірхгофа для миттєвих значень струмів і напруг

(1.1)

Підставивши у рівняння (1.1) вираз для струму , отримаємо диференційне рівняння другого порядку:

(1.2)

З математики відомо, що повний розв’язок лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами знаходять у вигляді суми часткового розв’язку неоднорідного й загального розв’язку відповідного однорідного рівняння.

Оскільки в правій частині диференціальних рівнянь, що описують електричний стан кіл, зазвичай перебуває напруга (або струм) джерела (зовнішня змушуюча сила), то частковий розв’язок знаходять із аналізу усталеного режиму після комутації. Тому цей режим називають вимушеним і відповідно струми або напруги, знайдені в даному режимі, називають вимушеними. Розрахунок вимушеного режиму, коли зовнішні джерела виробляють постійну або синусоїдальну е.р.с. (струм), не представляє труднощів і може бути здійснений будь-яким відомим методом.

Однорідне диференційне рівняння одержують із виразу (1.2) шляхом звільнення його від правої частини. Фізично це означає, що досліджуване коло звільняється від зовнішньої примушуючої сили. Струми або напруги, знайдені при розв’язанні однорідного диференціального рівняння, називаються вільними. Вільні струми й напруги є результатом дії внутрішніх джерел схеми: е.р.с. самоіндукції, що виникають у котушках, і напруг на конденсаторах, коли й ті, й інші не врівноважені зовнішніми джерелами.

Схематично аналіз перехідного процесу може бути представлений як результат накладання двох режимів: вимушеного й вільного. Схема на рис. 1,б повинна бути розрахована в усталеному режимі, а схема на рис. 1,в — у режимі, коли коло звільнене від зовнішніх джерел. Дійсні (перехідні) струми та напруги відповідно до принципу суперпозиції дорівнюють сумі відповідних вимушеної і вільної складових:

та .

Відзначимо, що фізично існують тільки перехідні струми й напруги, а розкладання їх на вільні й вимушені складові є математичним прийомом, що дозволяє спростити розрахунок перехідних процесів у лінійних колах. Нагадаємо, що принцип суперпозиції можна застосовувати лише до лінійних кіл.

Розглянемо способи розрахунку вільного режиму, якому відповідає коло зображене на рис. 1.1, в.

Перший спосіб полягає у безпосередньому розв’язанні однорідного диференціального рівняння, отриманого з виразу (1.2):

(1.3)

З математичного аналізу відомо, що для розв’язання однорідного диференційного рівняння (1.3), необхідно скласти його характеристичне рівняння, яке можна отримати шляхом заміни на , а на . Тоді для рівняння (1.3) отримаємо його характеристичне рівняння:

(1.4)

Підставивши у рівняння (1.4) параметри кола R, L і C в основних одиницях системи СІ, отримаємо корені, які визначають загальний розв’язок однорідного диференційного рівняння.

Складання характеристичного рівняння є початком розрахунку вільного режиму.

Другий спосіб. В електротехніці складання характеристичного рівняння кола та пошук його коренів зручно здійснювати методом “вхідного опору”, який дозволяє уникнути запису диференціального рівняння. Для цього післякомутаційну схему представляємо у вигляді пасивного двополюсника (схема вільного режиму), при цьому розрив робимо у будь-якій вітці кола (бажано біля ємності), і знаходимо вхідний опір відносно точок розриву у комплексній формі . В отриманому виразі заміняємо на . Надалі, прирівнявши весь вираз до нуля , отримуємо характеристичне рівняння:

Отримане рівняння збігається із співвідношенням (1.4).

Визначення коренів характеристичного рівняння.

З математики відомо, що загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння, а отже і вираз вільної складової , визначається видом кореню характеристичного рівняння (див. табл. 1.2).

Таблиця 1.2.