Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть две прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями

Если прямые пересекаются, то существует общая точка этих прямых, координаты которой удовлетворяют каждому из уравнений.

Следовательно, для нахождения точки пересечения двух прямых нужно решить систему уравнений

(15)

При решении системы (15) возможны три случая:

1) Система имеет единственное решение . В этом случае прямые имеют единственную точку пересечения .

2) Система несовместна. В этом случае общих точек у прямых l₁ и l₂ нет. Прямые l₁ и l₂ параллельны.

3) Система уравнений (15) имеет бесчисленное множество решений. Это означает, что прямые l₁ и l₂ совпадают.

При пересечении прямых l₁ и l₂ образуются углы. Любой из этих углов назовем углом между прямыми. Прямая l₁ имеет нормальный вектор , прямая l₂ Угол между нормальными векторами и будет равен одному из углов, образованных прямыми l₁ и l₂. Поэтому, обозначая через угол между векторами и будем иметь

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то векторы и коллинеарные. Поэтому - условие параллельности двух прямых. Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, то векторы и тоже перпендикулярны, следовательно

( )=0, или - условие перпендикулярности двух прямых. Пусть теперь прямые l₁ и l₂ заданы в виде уравнения прямых с угловым коэффициентом.

,

где и углы наклона прямых l₁ и l₂ соответственно.

Угол между прямыми l₁ и l₂ равен j = a₂-a₁. Поэтому

Если, l₁ ç÷ l₂, то , поэтому - условие параллельности двух прямых.

Если l₁ ^ l₂,то - не существует, следовательно, знаменатель формулы равен нулю. Условие есть условие перпендикулярности двух прямых.