Геометрический смысл неопределенного интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(X) зная, что tg угла наклона касательной в каждой ее точке – заданная функция f(x) абсциссы этой точки. Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F`(х). Значит, нам нужно найти такую функцию F(x), для которой F`(x)=f(x). Следовательно, задача свелась к основной задаче интегрального исчисления – к нахождению первообразной от данной функции.

Таким образом, y=∫f(x)dx; или у=F(x)+C. Отсюда следует, что условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. Причем, если y=F(x) – одна из таких кривых, то всякая другая может быть получена из нее “параллельным” переносом вдоль оси OY.

Для того, чтобы из данного семейства кривых выделить одну определенную кривую, нужно к условию задачи присоединить дополнительное условие, например потребовать, чтобы кривая проходила через данную точку . Такое условие называется начальным. Из этого условия однозначно определяем С; .

Пример. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (x;y) равен 2x.

Решение. k=2x. Известно, что ;

Следовательно, ; . Интегрируем, т.е. , , - семейство кривых. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С.

При С=0 получим параболу с вершиной в начале

координат. При С=1 – параболу с вершиной в точке (0;1)

Таблица основных интегралов

Для облегчения интегрирования составляется таблица так называемых основных интегралов. Эта таблица получается из основных формул дифференциального исчисления. При этом целесообразно использовать те формулы дифференциального исчисления, в которых за аргумент принимается переменная u, являющаяся дифференцируемой функцией x. Справедливость каждой формулы проверяется дифференцированием.

1. ; 2. (при n≠1)

Проверка этой формулы:

3. ; 4.

5. 6.

7. ; 8.

9. ; 10.

11. ; 12.

13. ;

14. .

Вывод этих формул сводится к проверке того, что дифференциал правой части равен подынтегральному выражению в левой части равенства.