Исследование функций и построение их графиков

Под полным исследованием функции понимается решение таких вопросов:

1.Определение области существования функции.

2.Выяснение вопроса о четности и нечетности функции.

3.Определение точек разрыва.

4.Определение асимптот графика функции.

5.Определение интервалов возрастания и убывания функции.

6.Определение экстремума функции.

7.Определение интервалов выпуклости и вогнутости.

8.Определение точек перегиба.

9.Определение точек пересечения графика функции с осями координат.

Полученные данные следует использовать для построения графика функции.

Задача. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1.Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме x=0. Здесь x=0- точка разрыва.

2.Функция ни четная, ни нечетная,т.к.

3.Найдем асимптоты графика функции:

а) вертикальная асимптота:

значит x=0 вертикальная асимптота.

б) Наклонная асимптота .

.

y=x- наклонная асимптота.

в) горизонтальная асимптота.

.

Горизонтальных асимптот нет.

4.Найдем интервалы возрастания и убывания функции. Найдем первую производную.

критическая точка.

Исследуем знак в интервалах.

+ - +

В интервале , функция возрастает.

В интервале (-4;0) , функция убывает.

В интервале функция возрастает.

5.Определим экстремум функции: В точке х=-4 функция имеет максимум, т.к. меняет знак с (+) на (-).

Найдем у_max.

при

6.Определим интервалы выпуклости и вогнутости.

- -

Определим знак второй производной в интервалах

Значит функция в интервале выпукла.

7.Нули функции:

;

При х=3,2; у=0; х¹0; т.к. х=0 – точка разрыва функции.

Строим график функции.

max