Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля. Пусть функция y= f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на [a;b],

2) дифференцируема в интервале (a;b),

3) на концах интервала функция принимает равные значения т.е. f(а)= f(b)

тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю:

Если , то говорят, что между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции, имеется хотя бы один нуль ее производной, т.е. .

Теорема Лагранжа. Пусть функция y= f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1)непрерывна на [a;b]

2)дифференцируема на (a;b),

тогда существует такая точка , что -

- формула Лагранжа или формула конечных приращений.

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой АВ найдется точка М(с;f(с)) в которой касательная параллельна хорде АВ.

Теорема Лагранжа дает возможность установить признаки постоянства, возрастания и убывания функции.

Теорема Коши. Если функции непрерывны на [a;b] и дифференцируемы в (a;b), причем , тогда существует такая точка ,что справедлива формула .