Дії над наближеними числами

Сформулюємо правила оцінки граничних похибок при виконанні операцій над наближеними числами.

При додаванні або відніманні чисел їх абсолютні похибки додаються. Відносна похибка суми знаходиться між найбільшим і найменшим значеннями відносних похибок доданків; на практиці приймається найбільше значення.

При множенні або діленні чисел їх відносні похибки додаються. При піднесенні до степеня наближеного числа його відносна похибка множиться на показник степеня.

Для випадку двох наближених чисел а і b ці правила можна записати у вигляді формул:

(1.1)

Приклад 1. Знайти відносну похибку функції

Використовуючи формулу (1.1), маємо:

=

Отримана оцінка відносної похибки містить в знаменнику вираз |1 – x|. Ясно, що при х» 1 можемо отримати дуже велику похибку. У зв'язку з цим розглянемо докладніше випадок віднімання близьких чисел.

Запишемо вираз для відносної похибки різниці двох чисел у вигляді

При а» b ця погрішність може бути як завгодно великою.

Приклад 2. Хай а = 2520, b = 2518. В цьому випадку маємо абсолютні похибки початкових даних Dа = D b = 0,5 і відносні похибки d а» d b = 0,5/2518» 0,0002 (0,02%). Відносна похибка різниці рівна

Отже, при малих похибках в початкових даних ми отримали дуже неточний результат. Тому, при організації обчислювальних алгоритмів слід уникати віднімання близьких чисел; при нагоді алгоритм потрібно видозмінити щоб уникнути втрати точності на деякому етапі обчислень.

З розглянутих правил виходить, що при складанні або відніманні наближених чисел бажано, щоб ці числа мали однакові абсолютні похибки, тобто однакове число розрядів після десяткової коми. Наприклад, 38,723+4,9=43,6; 425,4–0,047=425,4. Облік відкинутих розрядів не підвищить точність результатів. При множенні і діленні наближених чисел кількість значущих цифр вирівнюється по найменшій з них.

Разом з приведеними вище оцінками похибок при виконанні деяких операцій над наближеними числами можна записати аналогічні оцінки і для обчислення функцій, аргументами яких є наближені числа. Проте більш повним виявляється загальне правило, засноване на обчисленні приросту (похибки) функцій при заданих приростах (похибках) аргументів.