Пряма та обернена задачі теорії похибок

Пряма задача теорії похибок полягає в наступному: відомі похибки деякої системи величин, вимагається визначити похибку даної функції від цих величин.

Нехай задана диференційовна функція

і нехай – абсолютні похибки аргументів функції. Тоді абсолютна похибка функції

Звичайно на практиці — малі величини, добутками, квадратами і вищими степенями яких можна нехтувати. Тому можна покласти:

Отже

(1.2)

Звідси, позначаючи через граничні абсолютні похибки аргументів , і через – граничну похибку функції , для малих отримаємо:

(1.3)

Розділивши обидві частини нерівності (1.2) на , матимемо оцінку для відносної похибки функції .

(1.4)

Отже, за граничну відносну похибку функції можна прийняти:

(1.5)

Приклад 1. Знайти граничні абсолютну і відносну похибку об'єму кулі , якщо діаметр d = 3,7см ±0,05см, а .

Розв’язок. Розглядаючи і d як змінні величини, обчислюємо частинні похідні

Через формулу (1.3) гранична абсолютна похибка об'єму

Тому

Звідси гранична відносна похибка об'єму

На практиці важлива також обернена задача теорії похибок: які повинні бути абсолютні похибки аргументів функції, щоб абсолютна похибка функції не перевищувала заданої величини.

Ця задача математично невизначена, оскільки задану граничну похибку функції можна забезпечити, встановлюючи по-різному граничні абсолютні похибки її аргументів.

Найпростіше рішення оберненої задачі дається так званим принципом рівних впливів. Згідно цьому принципу передбачається, що всі частинні диференціали

однаково впливають на утворення загальної абсолютної похибки функції .

Нехай величина граничної абсолютної похибки задана. Тоді на підставі формули (1.3)

Припускаючи, що всі доданки рівні між собою, матимемо

.

Звідси

(1.6)

Приклад 1. Радіус основи циліндра м; висота циліндра м. З якими абсолютними похибками потрібно визначити R і H, щоб об'єм циліндра V можна було обчислити з точністю до .

Розв’язок. Маємо і .

Вважаючи R = 2м; H = 3м; приблизно отримаємо:

Звідси, оскільки n = 3, то на підставі формули (1.6) матимемо: