М. Чернігів. Липень – серпень 2011 року

Зміст

Вступ. 4

1 Основні поняття теорії похибок. 6

1.1 Поняття похибки. 6

1.2 Дії над наближеними числами. 7

1.3 Пряма та обернена задачі теорії похибок. 8

1.3 Джерела похибок обчислень. 11

2 Обчислення значень функцій. 13

2.1 Обчислення значень полінома. Схема Горнера. 13

2.2 Наближене знаходження сум числових рядів. 16

2.3 Обчислення значень аналітичної функції 18

2.4 Обчислення значень показової функції 21

2.5 Обчислення значень логарифмічної функції 23

2.6 Обчислення значень тригонометричних функцій. 26

3 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) 27

3.1 Концепція методів. 27

3.2 Метод простої ітерації 28

3.3 Метод Гаусса-Зейделя. 31

4 Розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь. 36

4.1 Відділення коренів. 36

4.2 Метод половинного поділу (метод дихотомії) 40

4.3 Метод хорд (спосіб пропорційних частин) 42

4.4 Метод Ньютона (метод дотичних) 45

4.5 Комбінований метод. 49

4.6 Метод ітерації 51

4.7 Метод ітерації для системи двох рівнянь. 56

5 Обробка емпіричних даних. 60

5.1 Інтерполяція та екстраполяція. 60

5.2 Концепція інтерполяції та екстраполяції 61

5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції 62

5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа. 65

5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона. 66

5.6 Апроксимація. 70

6 Наближене обчислення визначених інтегралів. 77

6.1 Концепція чисельного інтегрування. 77

6.2 Методи прямокутників та трапецій. 78

6.3 Метод Симпсона. 81

6.4 Метод Монте-Карло. 82

Вступ

Бурхливий розвиток новітньої техніки та все більше впровадження сучасних методів математики в інформаційні технології істотно підвищили вимоги до математичної підготовки фахівців цієї галузі людської діяльності.

Обчислювальна техніка наших днів представляє собою потужні засоби для фактичного виконання рахункової й аналітичної роботи. Ефективне використання сучасної обчислювальної техніки неможливе без умілого застосування методів наближеного та чисельного аналізу. Цим і пояснюється надзвичайний інтерес до методів обчислювальної математики як в Україні, так і в інших країнах.

Основне призначення пропонованого курсу - дати систематичний і сучасний виклад найважливіших методів і прийомів обчислювальної математики на базі загального курсу вищої математики.

У курсі широко використовуються основи матричного числення. Поняття вектора, матриці, оберненої матриці, власного значення та власного вектора матриці тощо є робочими. Застосування матриць дає ряд переваг при викладі, тому що, користуючись ними, легше вдається з’ясувати закономірність багатьох розрахунків. Адже сучасні швидкодіючі обчислювальні машини легко здійснюють основні матричні операції.

Для повного розуміння змісту курсу від слухача потрібен деякий мінімум відомостей з лінійної алгебри та математичного аналізу.

Пропонований курс лекцій в основному присвячений наступним питанням:

- дії з наближеними числами;

- обчислення значень функцій за допомогою рядів й ітеративних процесів;

- чисельний розв’язок алгебраїчних і трансцендентних рівнянь;

- обчислювальні методи лінійної алгебри;

- інтерполяція функцій;

- чисельне диференціювання й інтегрування функції;

- метод Монте-Карло.

Особлива увага звернена на зручні способи оцінки похибок. Основні методи доведені до чисельних додатків - дані розрахункові схеми й наведені числові приклади з докладним ходом розв’язування. З метою кращого розуміння суті справи частина наведених прикладів розглядається в спрощеному трактуванні й носить ілюстративний характер. Використана література представлена наприкінці курсу.

В результаті вивчення матеріалу лекцій і виконання лабораторних робіт студенти повинні:

- знати основні чисельні методи і їх особливості при розв’язуванні різноманітних математичних задач.

- уміти вибрати і обґрунтувати використання на практиці тих або інших чисельних методів.

- оцінити переваги і недоліки алгоритмів, що використовуються в стандартних пакетах математичної обробки або програмах моделювання при розв’язуванні практичних задач.

- набути навичок роботи зі стандартними пакетами математичної обробки, наприклад, з MathCAD, Excel.

Автор при складанні курсу лекцій керувався книгою Б. П. Демидовича та І. А. Марона «Основы вычислительной математики», а також власною точкою зору на цей розділ математики та власним досвідом роботи із програмами EXCEL й MAPLE.

м. Чернігів. Липень – серпень 2011 року.