Зв’язок кутових та лінійних величин

Для пояснення обертальних рухів зчеплених зубчастих коліс різних технічних механізмів, а також розрахунку ланцюгових та пасових передач (рис. 1.11) необхідно знати зв’язок між кутовими швидкостями ведучих та ведених зубчастих коліс або шківів (ω₁ і ω₂) та лінійною швидкістю точок контактуючих поверхонь зубчастих коліс або шківів (). Для цього розглянемо рисунок 1.12 та виразимо кутову швидкість через лінійну.

Нехай матеріальна точка пройшла за час Δ t по колу з радіусом R шлях Δ s, а радіус-вектор повернувся на кут Δφ. Якщо довжина шляху: Δ s = R ∙Δφ, то лінійна швидкість:

,

або , то

. (1.31)

Співвідношення цих векторів виражається векторним добутком:

. (1.32)

Отже, лінійна швидкість – це вектор, модуль якого дорівнює ω∙ r ∙sinα (де α – кут між векторами та ), що напрямлений перпендикулярно до та у той бік, в який поступально переміщується гвинт, коли його головка робить найкоротший поворот від до (рис. 1.10).

Продиференціюємо формулу (1.30) за часом. Це дає:

або

(1.33)

Перший доданок напрямлений по дотичній до траєкторії і є не що інше, як тангенціальне прискорення:

. (1.34)

За модулем тангенціальне прискорення можна було б пов’язати із кутовим прискоренням:

, (1.35)

Другий доданок у формулі (1.33) є нормальним прискоренням, яке напрямлене вздовж радіусу до центру обертання:

. (1.36)

За модулем нормальне прискорення можна записати як:

, . (1.37)

Повне прискорення:

(1.38)

Для руху по колу вводять поняття періоду та частоти обертання.

Період є часом, за який матеріальна точка здійснює один повний оберт, тобто радіус-вектор точки повертається на кут 2π. Тоді у випадку рівномірного руху:

. (1.39)

Частота є кількістю повних обертів N, що здійснює матеріальна точка за одиницю часу:

. (1.40)

За один оберт: .

Для рівноприскореного (β = const) обертального руху можна записати формули визначення кутової швидкості та рівняння руху:

; . (1.41)