Векторні характеристикимеханічного руху– переміщення, шлях, швидкіст та прискорення

Розглянемо різні способи визначення положення точки.

Перший - векторний спосіб опису руху.

У деяких задачах цей спосіб є найбільш раціональним. За цим способом положення точки у просторі визначається радіусом-вектором , проведеним із початку координат до точки (рис. 1.4, а):

. (1.1)

Залежність радіус-вектора точки від часу називається кінематичним рівнянням руху. Лінія, яку описує кінець радіус-вектора разом із матеріальною точкою у просторі, називається траєкторією руху. Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний та криволінійний рух. Зауважимо, що форма траєкторії руху точки істотно залежить від вибору системи відліку. Наприклад, у системі відліку, пов’язаній із Сонцем, траєкторії руху планет мають форму еліпсів; у системі відліку, пов’язаній із Землею, їхні траєкторії ускладнюються і нагадують петлеподібні рухи. Точка пропелера рухомого літака з погляду пілота перебуває в коловому русі; в системі відліку, пов’язаній з Землею, її траєкторія має гвинтоподібну форму. До вибору системи відліку треба підходити з урахуванням простоти і зручності опису в ній руху матеріальної точки. Сумарна довжина елементів траєкторії, пройдена точкою за заданий проміжок часу, називається шляхом Δ S.

Рух точки за час визначається вектором переміщення (рис. 1.4, а) Цей вектор чисельно дорівнює довжині відрізка прямої, що сполучає початкове і кінцеве положення точки через час і визначається як . У разі кількох послідовних переміщень точки сумарний вектор переміщення знаходять за правилом додавання векторів (рис. 1.4, б).

Такі величини, як переміщення, швидкість, прискорення, сила та інші, що задаються числовим значенням і напрямом та додаються за правилом паралелограма, називаються векторними. Величини, для визначення яких досить тільки числового значення, називаються скалярними (скалярами). Такими, наприклад, є час, шлях, маса.

Найважливішою кінематичною характеристикою руху є швидкість.

На практиці в описах рухів часто задовольняються середньою швидкістю, що дорівнює шляху, пройденому за одиницю часу, тобто:

. (1.2)

Середня швидкість не дає чіткої інформації про рух тіла, а тому для точного опису руху вводиться поняття миттєвої швидкості. Миттєвою швидкістю називається векторна величина, що визначається рівністю

, (1.3)

Оскільки рух тіла можна уявити як сукупність миттєвих перебувань його в послідовних точках траєкторії, то миттєва швидкість характеризує швидкість тіла в кожний момент часу або в кожній точці його траєкторії. Таким чином, миттєва швидкість – це похідна від радіус-вектора по часу.

Одиницею вимірювання швидкості в СІ є метр за секунду (м/с); на практиці широко користуються кілометром за годину (км/год), у морській справі - вузлом (1 вузол = 1 морська миля/год = 1,853 км/год), у реактивній авіації числом М (1 М ≈ 1200 км/год).

Із визначення випливає, що швидкість завжди спрямована по дотичній до траєкторії (рис.1.4, а). У міру зменшення D t шлях D s все більше буде наближатися до , тому модуль миттєвої швидкості

(1.4)

де s – шлях, пройдений вздовж траєкторії. Таким чином, модуль миттєвої швидкості рівний першій похідній шляху по часу.

У змінному русі швидкість може змінюватися і за значенням, і за напрямом. Повну зміну швидкості за час Δ t знаходять за векторною різницею (рис. 1.4, а):

Для оцінювання зміни швидкості в часі введено фізичну величину, що називається прискоренням. У певний момент часу або в заданій точці траєкторії прискорення є границею відношення вектора зміни швидкості до відповідного проміжку часу :

, . (1.5)

Таким чином, прискорення є першою похідною від швидкості тіла за часом, або друга похідна від радіус-вектора за часом Про напрямок вектора і його величину мова піде пізніше.

Отже, знаючи кінематичне рівняння руху, можна простим диференціюванням за часом знайти швидкість і прискорення в будь-який момент часу (так звана пряма задача кінематики). Навпаки, знаючи прискорення точки, а також початкові умови, тобто положення і швидкість в початковий момент часу , можна знайти траєкторію руху точки (обернена задача кінематики). Дійсно, із формул (1.5) і (1.3) випливає, що і , тоді:

(1.6)

(1.7)

Другий - координатний спосіб опису руху

Якщо з тілом відліку жорстоко пов’язати яку-небудь координатну систему (наприклад, декартову), то положення точки в будь-який момент часу визначається трьома її координатами: x, y, z.

Проектуючи радіус-вектор на координатні осі, отримаємо три залежності координат точки від часу

; ; , (1.8)

які є кінематичними рівняннями руху в координатній формі. За цими функціями для будь-якого моменту часу можна обчислити координати точки і знайти її положення. Рівняння (1.8) по суті є рівнянням траєкторії у параметричній формі. Щоб знайти рівняння траєкторії у явному вигляді, треба у системі (1.8) виключити час (тобто знайти зв’язок між координатами в довільний момент часу).

Між векторним та координатним способами опису руху точки існує безпосередній зв’язок, а саме:

- числові значення проекцій радіуса-вектора рухомої точки на координатні осі системи з тим самим початком відліку дорівнюють координатам точки, тобто:

, , . (1.9)

Іншими словами, радіус-вектор можна задати через координати точки (рис. 1.5), тобто:

, (1.10)

де – орти (одиничні вектори, напрямлені вздовж відповідних координатних осей). Звідси зараз же випливає принцип незалежності рухів: довільний рух точки можна розглядати як суму незалежних рухів по координатних осях x, y, z;

– траєкторією руху точки є годограф радіуса-вектора (крива, яку описує кінець вектора на рисунку 1.4, а). Рівняння (1.8) є рівнянням годографа;

– вектор переміщення виражається через відповідні зміни координат рухомої точки, тобто:

.

Як було сказано вище, при → 0 вектор переміщення збігається з відповідним елементом траєкторії , проте для довільного проміжку часу модуль кінцевого вектора переміщення і довжина пройденого шляху взагалі величини різні. Наприклад, модуль переміщення Землі відносно Сонця як системи відліку через півроку дорівнює діаметру орбіти, а через рік – нулю, тоді як пройдений шлях відповідно дорівнюватиме половині довжини й довжині орбіти.

Вектори швидкості та прискорення можуть бути вираженими у проекціях на координатні осі:

, (1.11)

(1.12)

де проекції швидкості і прискорення точки на координатні осі знаходять так:

(1.13)

(1.14)

а модулі векторів знаходять за формулою:

(1.15)

(1.16)

Елементарний пройдений шлях при координатному заданні руху визначається:

або

;

. (1.17)

Звідси увесь шлях знайдемо шляхом інтегрування:

(1.18)

де константа С знаходиться з початкових умов.

Таким чином, у кінематиці розв’язують задачі двох типів: на знаходження прискорення, коли відомо функції ; ; або , і на відшукання цих функцій, коли відомі прискорення.

Задачі першого типу розв’язують методом диференціювання, другого – методом інтегрування. Наприклад, для випадку рівномірно прискореного руху, що відбувається в напрямі осі О х, () з виразу дістаємо:

,

звідки інтегруванням знаходимо відомі вирази для швидкості та координати:

; та ,

де та – сталі інтегрування. Вони визначаються з початкових умов, а саме: при = 0 маємо та . Тоді рівняння швидкості та координати буде:

(1.19)

(1.20)

Отже, для розв’язання кінематичних задач, окрім прискорення, мають бути задані початкові умови, тобто координати початкового положення точки (, , ) і початкова швидкість її руху (, , ).

Розглянемо більш детально напрям вектора прискорення.

Як випливає із (1.5) прискорення – це вектор, який за напрямом збігається з вектором при → 0. Зазначимо, що вектор приросту швидкості може не збігатися з вектором самої швидкості, тому вектор прискорення взагалі не збігається з напрямом вектора швидкості.

У випадку криволінійного руху швидкість може змінюватись не лише за величиною, але й за напрямком (рис. 1.6). Розкладемо вектор приросту швидкості так: , де доданок відповідає за зміну вектора швидкості лише за модулем, а – лише за напрямком. Тоді повне прискорення можна записати:

. (1.21)

Перший доданок називається тангенціальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості з часом за величиною (рис. 1.6) і визначається за формулою:

; (1.22)

Вектор можна записати як , де – орт дотичної до траєкторії, напрямлений у ту саму сторону, що і вектор швидкості . Тоді тангенціальне прискорення:

. (1.23)

Модуль тангенціального прискорення визначається:

(1.24)

Якщо (швидкість зростає за величиною), то вектор напрямлений уздовж дотичної у то ж сторону, що і швидкість , тобто Якщо ж (швидкість із плином часу зменшується), вектори та напрямлені у протилежні сторони, тобто . При рівномірному русі , і отже тангенціального прискорення немає.

Другий доданок у формулі (1.21) називається нормальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком (рис. 1.6) і визначається за формулою:

. (1.25)

Знайдемо модуль нормального прискорення . Як видно з рисунку 1.6 (де ). Довжина дуги AB дорівноє: . Тоді , де – радіус кривизни траєкторії. У граничному випадку, коли , т. В наближається до т. А. Звідси:

(1.26)

Формула (1.26) визначає модуль нормального прискорення.

Встановимо напрям вектора . Як видно з рисунку 1.6, при . Тоді з рівнобедреного Δ АСD слідує, що АСD= АDС ≈ 0. Таким чином вектор перпендикулярний до швидкості, а отже – напрямлений до центра кривизни траєкторії в даній точці.

Повне прискорення є векторною сумою тангенціального і нормального прискорень:

(1.27)

Знаючи тангенціальне та нормальне прискорення, можна знайти модуль і напрям повного прискорення в заданій точці траєкторії за теоремою Піфагора, оскільки кут між векторами та завжди 90^о (рис. 1.7):

; . (1.28)

Тангенціальне і нормальне прискорення можуть бути використані для класифікації різних рухів, наприклад:

1) = const – рівнозмінний рух;

2) – рівномірний криволінійний рух;

3) , = const – рівномірний рух по колу і тощо.