Расположение относительно осей. Исследуем гиперболу в первом квадрате (четверти) то есть при и

Исследуем гиперболу в первом квадрате (четверти) то есть при и

;

b²x²-a²y² = a²b²;

y = .

Если 0 < a, то и принимает мнимые значения (точек гиперболы нет).

Если а, то при возрастании возрастает и , начиная от нуля при . Дуги гиперболы в остальных квадрантах симметричны этой дуге относительно осей координат и начала координат.

Гипербола состоит из двух изолированных ветвей.

Замечание. Так как , то и директрисы не пересекают гиперболу.

4. Асимптоты (от греческого – несовпадающий, не касающийся)

Термин «асимптота» применительно к гиперболе приписывают Аполлонию Пергскому (III век до н.э.).

Рассмотрим прямую линию с уравнением , x > 0 и обозначим соответственно через M и N точки гиперболы и этой прямой, ….. общую абсциссу . Ординыты… этих точек обозначим через и , тогда имеем M(x;y_m), N(x;y_n­). Пусть для определённости эти точки находятся в первом квадрате.

tg α = .

Пусть MK , тогда MK – расстояние от точки M гиперболы до прямой . Из MNK имеем MK = MN cos α, так как NMK = α = KOA₁ (углы соответственно перпендикулярным сторонам). Тогда имеем Y_N = x, Y_M = , так как a x, то

x- >0 и Y_N > Y_M. Следовательно: NM = Y_N-Y_M = (x- ).

Устраним абсциссу к бесконечности и рассмотрим предел:

= .

Но тогда и MK = MN cos α = cos α (x- ) при стремится к нулю.

Таким образом, точка М при неограниченно приближается к прямой . Если же , то к прямой неограниченно приближается и другая ветвь гиперболы в третьем квадранте.

Так как гипербола симметрична относительно оси Oy, то этими же свойствами обладает и прямая с уравнением .

Определение 3. Две прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, нигде их не пересекая, называются асимптотами гиперболы.

OA₁ = a, A₁C₁ = b, . OC₁ = OF₁ = C, где с² = a² + b² = OC₁² = OF₁².