Другие виды уравнения гиперболы

1) Пусть гипербола задана уравнением:

. (3)

Тогда фокальной осью является ось Oy, и вершины гиперболы лежат на этой оси. Центр – О(0;0).

2) Пусть центр гиперболы находится в точке . Тогда если её оси параллельны осям то .

B₁(0;b), B₂(0;-b), F₁(0;c), ­F₂(0;-c). (c>b)

- директрисы; - асимптоты.

Определение 4. Гиперболы с уравнениями (1) и (3) называются сопряжёнными друг другу.

3) Сопряжённые гиперболы (1) и (3) имеют общие асимптоты с уравнениями .

4) Если a = b, то гипербола называется равносторонней. Уравнение (1) в этом случае имеет вид:

x² – y² = a² (4)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и . Из формулы (2) получаем:

с² = 2а² .

В этом случае асимптоты равносторонней гиперболы содержат биссектрисы координатных углов и поэтому взаимно перпендикулярны.

Если эти асимптоты принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то в этой системе равносторонняя гипербола имеет уравнение:

или , (5)

где или .

Уравнение (5) называется уравнением гиперболы, отнесённой к свои асимптотам.

Таким образом, равносторонняя гипербола является графиком обратной пропорциональности.

5) Пусть центр гиперболы находится в точке . Тогда если её оси параллельны осям координат Ох и Оy, то имеем соответственно уравнения:

и .

Пример. Построим гиперболу с уравнением x² – 4y² = 4x.

Выделим полный квадрат с переменной :

(x² – 4x +4) – 4y² – 4 = 0, (x-2)² – 4y² = 4;

O^’(2;0), a = 2, b = 1, ;

OF₁ = OC₁ = .

§18. Парабола (“приложение”)

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой l, не проходящей через фокус, называемой директрисой.

Для вывода уравнения параболы за ось Ox примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно директрисе l. За положительное направление оси абсцисс возьмём направление от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем точку O, которая делит пополам отрезок от директрисы до фокуса. Длину этого отрезка обозначим через P и назовем фокальным параметром параболы.

Тогда фокус F имеет координаты , а точка A оси Ox, через которую проходит директриса l, имеет координаты . Возьмем произвольную точку M(x,y) параболы и соединим ее с фокусом F, а затем опустим перпендикуляр MN на директрису l. При этом длину отрезка MN обозначим через r и назовем фокальным радиусом точки M, а длину отрезка MN обозначим d. Тогда по определению параболы имеем: .

Замечание: По аналогии с эллипсом и гиперболой число , назовем директрисой параболы. Так как r=d, то для параболы .

Теорема. Пусть прямоугольная декартова система координат Oxy выбрана указанным выше способом. Тогда в этой системе координат парабола имеет каноническое уравнение: .

Доказательство.

Пусть M(x;y) – произвольная точка параболы, – фокус, или – уравнение директрисы. Тогда имеем:

; - расстояние от точки M(x,y) до прямой l, причем x≥0.

.

.

Теорема доказана.