Доказательство. Все элементы матрицы равны нулю, за исключением одного

Все элементы матрицы равны нулю, за исключением одного. Это элемент в нижнем левом углу, который равен единице. Поскольку матрица действует как оператор сдвига, то . Далее, переходя к произведению (и всем следующим за ним), учитываем, что результатом перемножения матрицы на нулевую матрицу является нулевая матрица.

Следствие. Матрицу можно представить в виде бесконечного степенного ряда

. (11.15)

Замечание. Рассмотрим матрицу . Из формулы (11.15) следует

.

Формально матрица – это производящая функция последовательности чисел , аргументом которой является . Как сказал американский ученый Д. Гиббс: «Математика есть искусство называть разные предметы одним именем». Символы в z -преобразованиях и в матричных уравнениях эквивалентны друг другу, что позволяет использовать формулы z -преобразования в дискретном операционном исчислении. Однако, поскольку , то не имеет обратной матрицы.

Теорема 11.3.

, (). (11.16)

Доказательство. Из формул (10.12) и (10.14) следует что

.

Учитывая действие матрицы как оператора сдвига, приходим к формуле (11.16).

Теорема 11.4. Если – произвольная квадратная матрица, то

. (11.17)

Доказательство. Умножая обе части уравнения (11.17) справа на , приходим к тождеству

.

Следствие. Если , то справедлива формула

. (11.18)

Формула (11.18) непосредственно следует из формул (11.17) и (11.14).

Рассмотрим матрицу , определяемую следующим образом:

. (11.19)

Теорема 11.5. Если , то

, (). (11.20)

Доказательство. На основании определения (11.12) и (11.19) можем записать:

Далее, учитывая действие матрицы как оператора сдвига и формулу (11.6), приходим к формуле (11.20).

В силу свойства (11.20) матрицу будем называть оператором суммирования. Оператор является дискретным аналогом оператора интегрирования в операционном исчислении Микусиньского.

Оператором вычитания назовем матрицу, определяемую выражением

. (11.21)

Теорема 11.6.

. (11.22)

Доказательство. Согласно формуле (11.18):

.

Оператор является дискретным аналогом оператора дифференцирования в операционном исчислении Микусиньского. Конечная разность может быть определена следующим образом:

.