Определители. Вычисление определителей

Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(10)

Допустим, что система имеет решение и пара составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Решая систему уравнений, получим решение вида

, (11)

Если , то наши рассуждения не приводят ни к какому результату, и поэтому будем полагать что . Для выражения существует специальное название определитель матрицы и специальное обозначение:

, (12)

где .

Пример 2.1. Рассмотрим .

.

С помощью определителей формулы (11) записываются в виде:

, (13)

Рассмотрим систему уравнений с тремя переменными и тремя неизвестными

(14)

Запишем его в матричном виде:

(15)

Решая данную систему уравнений и вводя обозначение:

(16)

можно показать, что решение системы

, ,

Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка

и третьего порядка

Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причём эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками плюс или минус по определённому правилу.

С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение:

.