Напряжения и деформации при чистом сдвиге

Чистым сдвигом называется такой частный случай плоского напряжённого состояния, при котором на площадках бесконечно малого элемента действуют только касательные напряжения (рис.6.1).

Рис. 6.1

Чистый сдвиг имеет место при работе ряда элементов конструкций. Так, мы встречались с этим напряжённым состоянием, когда рассчитывали на прочность балки при поперечном изгибе, – на нейтральной линии σ = 0 и τ = τ_max (см. п.5.8). Кроме того, в условиях чистого сдвига находится материал при резке ножницами (рис.6.2,а), при кручении круглого сплошного или трубчатого стержня (рис.6,2б), в заклёпочных (рис.6.2,в), болтовых и сварных соединениях.

а б в

Рис. 6.2

Определим напряжения по наклонным площадкам (рис.6.3). По формулам (3.9) и (3.10) при плоском напряжённом состоянии

σ_α = σ_xcos²α + τσ_ysin²α – τ_xysin 2α,

.

В нашем случае σ_x = σ_y = 0, τ_xy = τ поэтому получим

σ_α = – τ sin 2α, (6.1)

τ_α = τ cos 2α. (6.2)

При α = ± 45⁰ Þ τ_α = 0 и σ_α = m τ, т.е. главные напряжения при чистом сдвиге (рис.6.3)

. (6.3)

Итак, главные напряжения – сжимающее и растягивающее – равны между собой и численно равны экстремальным касательным напряжениям.

Рис.6.3

Тот же самый результат можно получить, используя формулу (3.18) для определения главных напряжений при плоском напряжённом состоянии

Рассмотрим деформацию элемента abcd (рис.6.4). Закрепляем одну из граней. Квадрат abcd превращается в ромб a¢b¢cd, поскольку по граням элемента нет нормальных напряжений. В то же время диагональ ac, совпадающая с направлением σ₁, удлиняется, а диагональ bd – укорачивается.

Рис.6.4

∆S – абсолютный сдвиг (смещение грани ab); γ – угол сдвига или относительный сдвиг.

. (6.4)

ac = ℓ – длина диагонали, , ∆ℓ – абсолютное удлинение диагонали,

∆ℓ = a′a ∙ cos 45⁰ = ∆S ∙ cos 45⁰ = γh ∙ cos 45⁰. Относительное удлинение диагонали есть не что иное, как главное удлинение ε₁ при плоском напряжённом состоянии, поскольку главное напряжение σ₁ действует в направлении диагонали ac.

.

Итак, при чистом сдвиге

. (6.5)

Теперь выразим ε₁ через σ, воспользовавшись обобщённым законом Гука для плоского напряжённого состояния (3.26)

. (6.6)

Приравняем правые части формул (6.5) и (6.6)

, .

Множитель перед γ является коэффициентом пропорциональности между касательным напряжением и соответствием ему углом сдвига, и называется модулем сдвига или модулем касательной упругости:

. (6.7)

Для стали G = 8 ∙10³ кН/см² или G = 8 ∙ 10⁴ МПа.

Модуль сдвига – это третья упругая постоянная изотропного упругого материала, выражающаяся через первые две (модуль нормальной упругости Е и коэффициент Пуассона ν) формулой (6.7).

Таким образом, закон Гука при сдвиге имеет вид

τ = Gγ. (6.8)

В аналогичной форме записывается этот фундаментальный закон и при линейном напряжённом состоянии – σ = Eε (см. формулу (2.9)), и при объёмном напряжённом состоянии: σ_cp = Kθ (см. формулу (3.36)).