Касательные напряжения при поперечном изгибе

При поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют Q и M, возникают не только нормальные напряжения σ, но и касательные напряжения τ.

Получим формулу для определения τ в самом простом случае поперечного изгиба – когда Q = const. Задача об определении напряжений, как правило, статически неопределима и требует рассмотрения геометрической и статической сторон (например, задача о нормальном напряжении при чистом изгибе – см.п.5.4.). Однако можно принять такие гипотезы о распределении напряжений, при которых задача станет статически определимой. Тогда необходимость в привлечении геометрических и физических уравнений отпадает и достаточно рассмотреть одну только статическую сторону задачи. Именно так и будет обстоять дело с выводом формулы для τ при изгибе.

Проведем вывод на примере балки прямоугольного поперечного сечения (рис.5.20,а), нагруженной силой в пролёте.

Введём некоторые предположения о характере распределения напряжений:

1) τ всюду параллельны Q;

2) во всех точках сечения на данном уровне (y = const) τ одинаковы, (т.е. постоянны по ширине и зависят только от расстояния точки до нейтральной линии);

3) σ определяется по формуле (5.18) для чистого изгиба.

Первые два предположения справедливы, если b < h.

Двумя близкими поперечными сечениями A₁B₁ и A₂B₂ выделим элемент балки длиной dx (рис.5.20,б). Как видно по эпюрам, в обоих сечениях Q одинакова, а М разный: в сечении A₁B₁: М = M(x), a в сечении A₂B₂: М = M(x) + dM.Таким образом, в этих сечениях действуют нормальные напряжения σ′ и σ′′ (рис.5.20,в), причём σ′′ > σ′.

Отсечём часть элемента балки, проведя горизонтальную плоскость m₁-n₂ на расстоянии y от нейтрального слоя. Выделенный таким образом элемент показан в поперечном сечении (рис.5.20,г) и в аксонометрии (рис.5.20,д). Нормальные напряжения, действующие по граням A₁m₁n₁C₁ и A₂m₂n₂C₂, определяются по формулам

, , (5.23)

где y₁ – текущая координата в пределах этих граней, y ≤ y₁ ≤ h/2.

а б в

г д

Рис.5.20

Равнодействующие этих напряжений, нормальные усилия N₁ и N₂:

, ,

(5.24)

где F₁ – площадь грани A₁m₁n₁C₁ (рис.5.20,г).

Ввиду того, что N₂ > N₁, равновесие рассматриваемого элемента возможно только в том случае, если по грани m₁m₂n₂n₁ будут действовать касательные напряжения τ′. Площадь этой грани бесконечно мала (длина dx), поэтому можно считать, что напряжения τ′ распределены равномерно и, следовательно, дают усилие

T = τ′bdx = τbdx. (5.25)

В формуле (5.25) τ′ = τ по закону парности касательных напряжений, τ – касательное напряжение в поперечном сечении, параллельное Q.

Запишем теперь уравнение равновесия параллелепипеда:

∑x = N₂ – N₁ – T = 0.

Подставляя N по формулам (5.24) и Т по формуле (5.25), получим

,

.

Учтём, что – статический момент отсечённой площади, заключенной между уровнем «y» и краем балки, и разделим это равенство на bdx

.

Учитывая, что по формуле (5.4) , находим окончательно

. (5.26)

Формула (5.26) носит имя автора – русского учёного Д.И.Журавского. Несмотря на то, что положенные в основу её вывода гипотезы справедливы только для узких прямоугольных сечений, ею можно пользоваться для любых сечений, в том числе и для сечений переменной ширины. Поперечная сила может быть переменной по длине балки.

Рис.5.21

Таким образом, для произвольного сечения (рис.5.21) формула Журавского записывается в следующем виде

, (5.27)

где Q(x) – абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения;

J_z – момент инерции этого сечения относительно нейтральной оси;

b_y – ширина сечения в том месте, где определяют τ;

S_z^OTC – абсолютная величина статического момента отсеченной части профиля относительно нейтральной оси (отсечение производится линией, параллельной нейтральной оси в том месте, где определяют τ).

S_z^OTC = F₁ ∙ y_ц,т.