Потенциальная энергия упругой деформации. Как было выяснено ранее, удельная потенциальная энергия упругой деформации определяется формулой

Как было выяснено ранее, удельная потенциальная энергия упругой деформации определяется формулой

.

Рассмотрим случай чистого изгиба (M = const, Q = 0).

Имеет место линейное напряжённое состояние:

, σ₂ = 0, σ₃ = 0.

Найдем потенциальную энергию в элементарном объёме dV балки:

.

Если учесть, что ε₁ = σ₁/Е, то получим

.

Подставим сюда значение напряжения σ₁, а затем проинтегрируем по всему объёму балки:

.

Для выполнения интегрирования учтём, что

dV = dx ∙ dF.

Переходя к двум переменным, необходимо интеграл по объёму заменить двойным интегралом:

. (5.52)

Учтём при этом, что

. (а)

Подставляя значение (а) в выражение (5.52), окончательно получим

. (5.53)

Заметим, что в формулу (5.53) изгибающий момент входит в квадрате и поэтому величина потенциальной энергии всегда положительная.

Для балок, работающих при поперечном изгибе (Q ¹ 0, M = M(x)), потенциальная энергия сдвига (от действия касательных напряжений) как правило, на порядок и более меньше потенциальной энергии изгиба. Поэтому формулу (5.53), выведенную для случая чистого изгиба, распространяют и на случай поперечного изгиба, когда М = М(х):

. (5.54)

Глава 6. СДВИГ