Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге

Для проверки прочности детали, испытывающей деформацию чистого сдвига, необходимо использовать теории прочности (см.п.3.7). Касательные напряжения на гранях элемента равны τ, допускаемое напряжение при растяжении – [σ]. Как указывалось выше, главные напряжения при чистом сдвиге σ₁ = τ, σ₂ = 0, σ₃ = – τ.

Составим условие прочности по четырём классическим теориям прочности:

а) по первой теории – теории наибольших нормальных напряжений в соответствии с формулой (3.41)

σ^I_расч = σ₁ ≤ [σ].

Подставляем значение σ₁ и получаем:

τ = [σ], (6.9)

Правая часть формулы (6.9) представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге; то есть по первой теории прочности

[τ]^I ≤ [σ]; (6.10)

б) по второй теории – наибольших линейных деформаций в соответствии с формулой (3.44)

σ^II_расч = σ₁ – ν (σ₂ + σ₃) ≤ [σ],

или τ – ν (0 – τ) ≤ [σ],

откуда

. (6.11)

Для металлов ν = 0,25 – 0,42. Следовательно, по второй теории прочности

[τ]^II = (0,7 – 0,8)[σ]; (6.12)

в) по третьей теории – теории наибольших касательных напряжений в соответствии с формулой (3.48)

σ^III_расч = σ₁ – σ₃ ≤ [σ]

или τ – (– τ) ≤ [σ],

откуда

. (6.13)

т.е. допускаемое напряжение при сдвиге по третьей теории прочности

[τ]^III = 0,5[σ]; (6.14)

г) по четвёртой теории – энергетической в соответствии с формулой (3.50)

,

или ,

откуда

. (6.15)

Следовательно, допускаемое напряжение при сдвиге по четвёртой теории прочности

[τ]^IV = 0,58[σ]. (6.16)

Отметим, что чистый сдвиг – это тот случай плоского напряжённого состояния, который легко осуществить в лабораторном эксперименте – достаточно испытать на кручение тонкостенную трубу. Опыты показали, что для пластичной и обычной конструкционной стали предел текучести при сдвиге составляет примерно 60% от предела текучести при растяжении

τ_т = 0,6σ_т.

Таким образом, для пластичных материалов наиболее подходят формулы (6.16) и (6.14), полученные на основании четвёртой и третьей теорий прочности.

6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений

Полученные выше величины допускаемых напряжений применяют при расчётах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза (заклёпок, болтов, шпонок, некоторых сварных соединений).

Рассмотрим заклёпочные соединения. Если в XIX веке единственным способом изготовления металлоконструкций (мостов, ферм и перекрытий зданий, котлов, трубопроводов, корпусов судов и прочих) был способ соединения деталей с помощью заклёпок, то в настоящее время заклёпки повсеместно вытеснены сваркой. Сварные соединения экономичнее и технологичнее заклёпочных. В то же время заклёпочные обладают одним весьма существенным достоинством – они надёжнее сварных. Заклёпочные соединения никогда не разрушаются внезапно, поэтому периодический контроль позволяет обнаружить плохие заклёпки и вовремя заменить их. Существует целая отрасль современной техники, в которой применяются только заклёпочные соединения – это авиация. В железнодорожных мостах, испытывающих большие динамические нагрузки, сварка не применяется – детали соединяются на заклёпках или на болтах.

Рис.6.5

При расчёте заклёпочного соединения (рис.6.5,а) считают, что усилия между заклёпками распределены равномерно. Условие прочности на срез:

, (6.17)

где i – число заклёпок, в нашем примере i=8.

Нагрузка, приложенная к каждой заклёпке, помимо среза, вызывает смятие контактирующих поверхностей. Смятие – это пластическая деформация по поверхности контакта. Расчёт на смятие так же, как и расчёт на срез, проводят приближённо, поскольку закон распределения давления по поверхности контакта точно не известен. Если принять криволинейный закон распределения (рис.6.5,б), то максимальное напряжение смятия на цилиндрической поверхности будет

,

где F_см – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость:

F_см = d ∙ δ.

Условие прочности на смятие имеет следующий вид:

. (6.18)

Допускаемое напряжение на смятие устанавливают опытным путём; обычно его можно принять равным [σ_см] = (2 – 2,5)[σ_-].

Учитывая, что заклёпки ослабляют листы, последние проверяют на растяжение в наиболее ослабленном сечении (рис.6.5,в):

, (6.19)

где m – число отверстий в ряду заклёпок; в нашем примере m = 2.

В соединении, показанном на рис. 6.5, силы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Эти силы стремятся не только срезать заклёпки, но и изогнуть их. Однако изгибающий момент мал, и вызванными ими нормальными напряжениями можно пренебречь.

Болты, работающие на срез, рассчитываются аналогично заклёпкам.

а б в

г

Рис.6.6

Сварные соединения принято рассчитывать на срез или на растяжение. Наиболее распространены соединения встык и с помощью угловых, или валиковых, швов. Соединения встык применяются, когда листы находятся в одной плоскости. При толщине листов δ ≤ 8 мм кромки их не обрабатываются (рис.6.6,а); при δ = 8 – 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с одной стороны (V-образный шов, рис.6.6,б); при δ ≥ 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с двух сторон (Х-образный шов, рис.6.6,в). Расчётную толщину шва принимают равной толщине листа δ, наплывы не учитываются. Рассчитываются соединения встык на растяжение или сжатие по формуле

, (6.20)

где ℓ = b – 10 мм – расчётная длина сварного шва (10 мм – длина непровара по краям шва);

b – ширина листа;

[σ_Э] – допускаемое напряжение для сварного шва.

Соединения с помощью угловых швов делают, когда листы параллельны или перпендикулярны. Сюда относятся соединения внахлёстку (рис.6.7,а), с накладками (рис.6.7,б) и в тавр (рис.6.7,в). Если направление углового шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов называется лобовым (рис.6.7,а); если параллельно- фланговым (рис.6.7,б).

а б в

Рис. 6.7

Рассмотрим расчёт фланговых и лобовых (торцевых) швов, то есть таких швов, которые должны сопротивляться действию касательных напряжений. Ясно, что фланговые швы работают на срез в биссекторных сечениях (рис.6.8). Считается, что касательные напряжения равномерно распределены по площади сечения АА₁В₁В. Площадь среза каждого шва

hℓ = 0,7δℓ

Фланговые швы всегда ставят парами. Условие прочности на срез принимает вид (с учётом возможного непровара по краям шва)

, (6.21)

где m – число швов;

[τ_Э] – допускаемое напряжение на срез материала электрода.

Для соединения с двумя накладками, показанного на рис.6.7,б, m = 4 и δ = δ₁. Для соединения внахлёст, показанного на рис.6.8, m = 2.

Рис.6.8

При расчёте лобовых швов пренебрегают составляющей нормальных напряжений на том основании, что сопротивление стали срезу ниже, чем растяжению. Лобовые швы условно рассчитывают на срез так же, как и фланговые, предполагая, что касательные напряжения равномерно распределены по площади биссекторного сечения. Условие прочности (см. схему на рис.6.7,а):

. (6.22)

Отметим, что вследствие незначительной протяжённости материала шва в направлении действия силы лобовые швы являются жёсткими, поэтому разрушаются при малых остаточных деформациях и плохо сопротивляются действию циклических и ударных нагрузок. Фланговые швы – вязкие, разрушаются после значительных остаточных деформаций, поэтому они предпочтительнее лобовых.

Глава 7. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА

Основные понятия. Определение крутящих моментов

Кручение – это деформация прямого бруса внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса (рис.7.1,а).

Моменты внешних пар называют скручивающими моментами и обозначают М.

Стержни, работающие на кручение, встречаются очень часто, особенно в машиностроении. Неподвижные стержни называются осями, вращающиеся – валами. Как правило, валы испытывают кручение в сочетании с изгибом (валы паровых и газовых турбин, компрессоров, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих машин); реже кручение сочетается с растяжением (валы гидравлических турбин). В настоящей главе рассматривается кручение в чистом виде.

а б

Рис. 7.1

Во вращающихся валах скручивающий момент совершает работу на угле поворота вала (рис.7.1,б). Если w – угловая скорость в радианах/сек, то работа скручивающего момента будет

A = Mα = Mωt.

В то же время мощность N, передаваемая валом, это работа в единицу времени t:

Þ A = Nt.

Отсюда получим выражение для скручивающего (внешнего) момента

. (7.1)

где N – кВт, М – кН×м.

Очень часто угловую скорость задают в об/мин. Тогда

,

где n – об/мин. Формула (7.1) приобретает вид

, (7.2)

где N – кВт, М – в кгм; или

, (7.3)

где N – в лошадиных силах, М – в кгм.

В общем случае на брус могут действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся (рис.7.2).

При этом внутренним усилием будет крутящий момент M_кр, который представляет собой результирующий момент касательных напряжений в поперечном сечении бруса. Крутящий момент М_кр равен сумме внешних скручивающих моментов М, расположенных по одну сторону от сечения. Закон изменения крутящих моментов по длине бруса представляют в виде графика – эпюры крутящих моментов.

Рис. 7.2

Знак крутящего момента физического смысла не имеет, но о нём необходимо договориться для построения эпюры. Будем считать, что внешние скручивающие моменты, действующие на рассматриваемую отсечённую часть стержня по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения, вызывают в этом сечении положительный крутящий момент, а действующие против часовой стрелки – отрицательный. В соответствии с принятым правилом построена эпюра М_кр для бруса на рис. 7.2.