Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений

Задача о кручении прямого бруса статически неопределима: для определения напряжений необходимо рассмотреть статическую и геометрическую стороны. Сначала рассмотрим геометрическую картину деформации круглого стержня. Опыты показывают, что предварительно нанесённая на поверхность стержня сетка, состоящая из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги, после закручивания будет перекашиваться (рис.7.3): продольные линии сетки станут винтовыми, а расстояния между кругами останутся неизменными. Это видно особенно наглядно, если в качестве материала вала взять резину.

На основании указанных экспериментальных данных принимаются следующие допущения о деформации круглого стержня.

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и после деформации.

2. Расстояние между поперечными сечениями не меняется.

3. Прямые радиусы, проведённые в сечении, остаются прямыми.

Эти особенности деформации круглого стержня получены из гипотезы плоских сечений. Деформация при кручении характеризуется углом закручивания j.

γ – угол сдвига; φ – угол закручивания

Рис.7.3.

Искажение прямых углов сетки, нанесённой на поверхности, свидетельствует о том, что мы имеем дело с деформацией чистого сдвига. Следует отметить, что гипотезу плоских сечений мы уже использовали при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе (см. п. 5.4).

Из стержня, показанного на рис. 7.3, вырежем участок длиной dx (рис. 7.4,а), а из него – сектор abcdoo₁. Далее покажем деформацию этого сектора (рис. 7.4,б).

а б

Рис. 7.4

Угол закручивания участка стержня длиной dx составляет dφ. Следовательно, радиус o₁b после деформации займёт положение o₁b′, исходный элемент abcdoo₁ превратится в элемент ab′c′doo₁.