Додавання дійсних чисел

Определим сложение и умножение числовых множеств полагая,

C + U ={ z |$x ÎC $y ÎU z = x+ y }=:{x +y|x ÎC Ù y ÎU },

C×U ={ z |$x ÎC $y ÎU z =xy}=:{xy |x ÎC Ù y ÎU }

Эти определения годятся для любых чисел, хотя пока их можно было бы применять лишь к числам рациональным, для которых сумма и произведение уже определены.

Сложение и умножение числовых множеств коммутативны и ассоциативны, обладают нулем - множеством, состоящим из одного нуля {0}, и единицей – множеством, состоящим из одной единицы {1}, связаны между собой дистрибутивным законом, но, в общем, когда числовое множество не состоит из одного единственного элемента, у него нет противоположного и обратного

C + U = U + C, C × U = U × C;

(C + U)+ Z = C +(U + Z)=: C +U+ Z, (C × U) Z = C ×(U×Z)= CUZ;

C +{0}= C; C ×{1}=C

Определим также множество - C из противоположных элементов множества Х:

- C ={| x |- xÎC},

х

-х

На числовой прямой это множество симметрично множеству Х относительно начала координат

а также множество C ^-1 из обратных элементов множества C, если оно не содержит нуля:

C ^-1={ x | x ^-1 ÎC }, если 0 Ï Û0 ÏC ¹

Если непустое множество Х, не являетсяодноэлементным множеством, то его сумма с множеством -C из его противоположных элементов тоже не является одноэлементным множеством; она содержит 0 и вместе со всяким числом содержит противоположное ему число; на числовой прямой эти множества симметричны относительно начала координат:

C +(- C)º C - C ={ x - y | x,y ÎC },

0ÎC- C, аÎ CÛ- аÎC - C;

{ а }+(-{ а })º{ а }-{ а }º{ а }+{- а }={0}.

Если непустое множество Х, не содержащее нуля, не является одноэлементным, то его произведение на множество Х^-1из его обратных элементов тоже не является одноэлементным множеством; оно содержит 1 и вместе со всяким числом содержит обратное ему число.

Х × C ^-1@C/ C ={ x /y| x, yÎC }, 0 ÏC Û0 Ï C ^-1;

1 ÎC × C ^-1, аÎC × C ^-1Û а ^-1 ÎC × C ^-1; C(U + Z)= CU + CZ

{ а }×{ а }^-1º{ а }/{ а }º{ а }×{ a ^-1}={1}

C ₊={ x | xÎC и x >0}-множество положительных чисел из множества Х – положительная часть множества Х.

Х _-={ x | xÎC Ù x <0}множество отрицательных чисел из множества Х -отрицательная часть множества Х.

(_~ C)_±=- C _±, =(Х ^-1)_± C \{0}= C ₊È C _-

C ^-1= Х È C , (CC ^-1)₊ = C ₊ C È C _-× C , (CC ^-1)_-= C ₊ × C È C _-× C

На числовой прямой множества точек Х и Х ^-1 связаны друг с другом инверсией относительно нульмерной единичной сферы | x |=1, представляющий собой двухточечное множество {-1,+1} C₊ и C =(C ^-1)₊ связаны инверсией относительно точки 1, а C и C = _- инверсией относительно точки –1. Точки связанные инверсиейотносительно нульмерной единичной сферы | х |=1 а) одного знака и б) произведение их расстояний до начала координат (модулей) равно 1.

Сложение вещественных чисел. Суммой вещественных чисел – сечений a = A | A ^¢ и b = B | B ^¢ называется вещественное число – сечение g = C | C ^¢, внутренность конечного (верхнего) класса

которого есть, по определению сумма внутренностей нижних (верхних) классов слагаемых:

a + b = g Û

Другими словами сумма вещественных чисел – это вещественное число, которое заключено между всевозможными суммами рациональных чисел из внутренностей нижних классов слагаемых и всевозможных суммами чисел из внутренностей верхних классов слагаемых:

" аÎ , bÎ , а ^¢ Î , b ^¢ Î а +b<y< a ^¢+ b ^¢

Корректность этого определения следует из следующих утверждений.

Множество действительно может рассматриваться как внутренность нижнего класса некоторого сечения; одновременно множество является внутренностью верхнего класса того же сечения. Сумма вещественных чисел определена данным определением для любых двух вещественных чисел и однозначно, т.е. не может быть разных вещественных чисел удовлетворяющих определению суммы для фиксированных слагаемых.

3Действительно, вместе с любым числом а + b, aÎ , bÎ содержит все меньшие: а + b > r Þ а + b - r >0Þ а -(a + b - r)< а, т. е. а -(а +b-r) Î ; после прибавления к обеим частям последнего неравенства числа bÎ B имеем r = а -(а+b - r)+ b < a +b.

В нет наибольшего числа, поскольку наибольших чисел нет по определению в и . Поэтому для аÎ и bÎ найдутся большие из тех же классов а < а ₁, а ₂ Î ; b < b ₂; b ₂ Î .Поэтому для всякого числа а + b из + в этом множестве есть большее число а ₂+ b ₁.

Аналогичные рассуждения показывают, что ^¢ можно рассматривать как верхний класс некоторого сечения.

Любое число из меньше любого числа из ^¢. Действительно, если а + bÎ a ¢+b^¢Î где АÎ , b Î , а ^¢ Î ^¢, b^¢Î ^¢ и, следовательно, а < а ^¢ и b < b ^¢, то складывая последние неравенства получаем требуемое, а + b < а ^¢+ b^¢.

В и ^¢ можно найти числа, разность которых меньше любого наперед заданного положительного e>0. По третьей теореме об аппроксимации есть числа а, а; b; b ^¢ разность которых меньше e/2: 0< а ^¢- а <e/2, 0<b^¢-b<e/2, откуда 0< а ^¢+ b ^¢-(а + b)=(а ^¢- а)+(b ^¢- b)< × Поэтому множество Q \( ¢^¢) содержит не более одного элемента (числа), согласно второй теореме об аппроксимации. Если указанное множество пустое (=Æ), то =С, ^¢=C^¢, C | C ^¢= g -однозначно определенная сумма. Если Q \( ^¢)={ c },где сÎ Q, то с = max ( {c}=min( ^¢È{c} так что ( | ^¢= |( ^¢È{c})-сечение производимое числом с. Подчеркнем, что наличие такого с не означает, что числа-слагаемые a и b рациональны8

Данное определение суммы вещественных чисел сохраняет сумму рациональных чисел неизменной. Точнее, сумма а + сечений b и b производимых рациональными числами а ₀ и b₀ есть сечение (а ₀ +b₀)^* производимое их суммой:

а (а ₀+b₀)*

3" aÎ , bÎ , а ^¢ Î ^¢, b ^¢Î ^¢ а < а ₀< а ^¢Ùb<b₀< b ^¢Þ a + b < a ₀+ b ₀< a ^¢+b^¢. Поэтому а ₀+ b ₀ удовлетворяет условием налагаемым на сумму и так как последняя определена однозначно, то она совпадает с сечением (а ₀+ b ₀)^*8

В терминах сечений естественно получать лишь те свойства суммы, которые достаточны для аксиоматического построения теории вещественных чисел: ассоциативность, коммутативность, существование нуля, существование противоположного, свойства неравенств (порядка) относительно сложения.

1.Коммутативность: a + b = b + a -независимость суммы от порядка слагаемых.

2.Ассоциативность: a(b+g)=(a+b)+g-независимость суммы от порядка выполнения действий (расстановки скобок).

3.Существование нуля: сечение 0^* производимое 0 обладает свойством 0^*+a= a: прибавление нуля к любому числу не меняет его.

4.Существование противоположного: для любого числа a = A | A ^¢ его сумма с противоположным - a:=(- A ^¢)|(- A) равна нулю (- a)+ a =0^*.

5.Неравенство между вещественными числами сохраняется при прибавлении к обеим его частям одного и того же числа: a < b Þ a + g < b + g.

3 + = + , из-за коммутативности сложения рациональных чисел.

+ из-за ассоциативности сложения рациональных чисел.

0^*= Q _-|(Q ₊È{0})=(Q _-È{0}| Q _*. Для а = А | A ^¢ имеем Q _-+ Q ₊+ ^¢= ^¢.

Действительно, в ^* нет наибольшего. Всякий элемент из Q + меньше некоторого элемента из как сумма с отрицательным числом. Поэтому Q _-+ . Для всякого элемента из найдется равный ему элемент из Q _-+ точка числа Q _-+ и, следовательно, Q _-+ . В самом деле, если аÎ то можно указать а ₁ Î большее а: а < а ₁. Но так как а = а ₁+(а - а ₁), где а ₁Î , а а - а ₂<0, т.е. а - а ₂ Î Q _-,то аÎ Q _-+ .

Для произвольного сечения a = A | A ^¢ множества (- А) и (- А ¢) из противоположных элементов для классов А и А ^¢, непусты (ибо таковы сами А и А ^¢), не пересекаются (по той же причине с учетом того что (- а)=(- а ^¢) Û а = а ^¢), их объединение есть Q (так как A È A ^¢= Q,то "r Î Q либо - rÎA, т.е. -r= а или g =-a а значит gÎ - A либо - rÎA ^¢ и следовательно rÎ(- A ^¢)), наконец, для rÎ( - A) и g ^¢ Î (- A ^¢) имеем (- r) ÎA и следовательно (- r)<(- r ^¢) т.е. r > r _¢. (- )+ ^¢= Q ₊, +(- ^¢)= Q _- т.е. a +(- a)=0^*× Легко понять, что (- ) – внутренность класса (-А), (- а)+ а ^¢>0; для r>0 $a, а такие что 0< a ^¢- a<g. Тогда а ₁< a +g=: a ^¢, причем a^¢ - a º a ^¢+(- a)=r - все числа из Q ₊ содержатся в (- )+ A ^¢.

a £ b Û . Сохранение строгого неравенства получается “алгебраически” из того что a=bÛa+g=b+g 8