Product of Real Numbers

Добуток дійсних чисел.

Потребуем, чтобы умножение было дистрибутивно по отношению к сложению:

a (b+g ) = a b+ a. g

Отсюда вследствие единственности нуля, доказываемой алгебраически, имеем для любых фиксированных a,b

ab = a (b +0)= ab + a 0 Þ a× 0=0

Произведение любого вещественного числа на 0 равно нулю.

0 = a ×0= a (b +(- b))= ab + a ×(- b)Þ a ×(- b)=-- ab

вследствие единственности противоположного, доказываемой алгебраически.

Произведение числа на противоположное другому числу есть противоположное произведению этих чисел. Отсюда правило знаков: плюс (умноженный) на плюс и минус на минус дают плюс, а плюс на минус и минус на плюс дают минус:

ab º(+ a)(+ b)=(- a)(- b) a (- b)º(+ a)(- b)=(- a)b=(- a)(+ b)=-(ab)

(- a) (- b)=-(a (- b))=-(-(ab))= ab - т.к. противоположное число единственно.

Таким образом, в предположении дистрибутивности достаточно определить произведение положительных чисел, для остальных произведение определится правилом знаков и свойством 0 обращать в нуль произведение.

Для положительных вещественных чисел a, b >0, т.е. для a = A ½ A ^¢ и b = B | B ^¢ таких, что A ^¢ B ^¢Ì Q ₊, назовем произведением ab вещественное число g = C | C ^¢ внутренность, верхнего класса которого равна произведению внутренностей верхних классов сомножителей ^¢= ^{¢ ¢}: для ab >0

ab =gÛ ^¢= ^{¢ ¢}

а положительная часть внутренности нижнего класса равна произведению положительных частей внутренностей нижних классов сомножителей: для a, b >0

₊= _{+ +}

Другими словами произведение положительных вещественных чисел, это вещественное число, которое заключено между всевозможными произведениями рациональных чисел из положительных частей внутренностей нижних классов сомножителей и всевозможными произведениями чисел из внутренностей верхних классов сомножителей.

"D Î ₊, bÎ ₊, а ^¢ Î ^¢, b ^¢ Î ^¢ аb < g < а ^¢ b ^¢

Проверка корректности определения ^¢ вместе с любым числом а ^¢ b ^¢, а ^¢ Î ^¢, b ^¢ Î ^¢ содержит все большие: 0 < a ^¢ b ^¢< r Þ

<1 Þ а ^¢:( так что левая часть Î ^¢ Поэтому

r =[ a ^¢:( ^{¢ ¢} Þ ^{¢ ¢} можно рассматривать как внутренность верхнего класса некоторого сечения.

вместе с любым числом аb, где аÎ содержит и всякое меньшее положительное число: 0 <r < ab Þ а:( а, так как левая часть Î .

Поэтому r =[ a:( Þ можно рассматривать как внутренность положительной части нижнего класса некоторого сечения.

B ^¢ нет наименьшего числа в - наибольшего. Так как таковых нет в ^¢ и ^¢, то для любых а^¢, b ^¢ есть a ^¢, b ¢ есть и , что после перемножения дает . Для рассуждения аналогично.

Любое число из и ^¢ меньше любого числа из ¢:0< a < a 0<b<b^¢ Þ 0< ab < a ^¢b^¢.

В ₊ и ^¢ можно найти числа, разность которых меньше любого наперед заданного положительного числа e>0× Можно ограничиться рассмотрением а ^¢< а , b ^¢<b , где а , b произвольные наперед заданные числа. Если а ^¢- a < d и b ^¢-b< d, то

a ^¢b- ab = a ^¢ b ^¢- a ^¢b+ a ^¢ b - a b = a ^¢(b ^¢-b)+(a ^¢- a)b< d (a ^¢+b)<d(a ^¢+b^{¢ ¢})< d (a +b₁^¢)

Если взять d< , то получим требуемое. Здесь скажем a ^¢< a без ограничения общности, так как во внутренностях верхних классов нет наименьших. Поэтому от а ^¢ удовлетворяющего неравенству а ^¢- а <8 можно перейти к меньшему если это необходимо, удовлетворяющего кроме этого неравенства также и условию а ^¢< a ^¢₁.

Данное определение произведения вещественных чисел сохраняет произведения рациональных чисел неизменными. Точное произведение a b сечений a и b производимых рациональными числами а ₀ и b ₀ есть сечение (а ₀ b ₀)^* производимое их произведением:

а ×b =(a ₀b₀)^*

30< a < a ₀< a ^¢ Ù 0< b < b ₀< b ^¢ Þ 0< ab < a ₀ b ₀< a ^¢b^¢× Поэтому a ₀b₀ удовлетворяет условиям налагаемым на произведение и так как последнее определено однозначно, то оно совпадает с сечением (a ₀ b ₀)^*8

Коммутативность: ab = ba Ü ^{¢ ¢}= ^{¢ ¢} так как произведение рациональных чисел коммутативно.

Ассоциативность: a (bg)=(ab) g Ü ^¢( ^{¢ ¢})=( ^{¢ ¢}) ^¢ так как произведение рациональных чисел ассоциативно.

Существование единицы: a ×1= a × ^{¢ ¢}= ^¢, если ^¢={ bÎ Q | b >1}-внутренность верхнего класса сечения 1^* которое производится рациональным числом 1.

Так как в ^¢ входят числа >1, то ^{¢ ¢}Ì ^¢. Взяв a < a и b ^¢= получим a ^¢= a () Î ^{¢ ¢}т.е. ^¢Ì ^{¢ ¢}.

Существование обратного: a ^-1× a =1, где a = A | A ^¢, a ^-1= B | B ^¢ причем для a >0, для a <0 по правилу знаков, 0 не имеет обратного. ^¢= ^¢ и ^¢-1.

Действительно a × a ^-1 заключено между всевозможными произведениями вида аb и а ^¢b ^¢, в частности между всевозможными числами вида и соответствующих выбору b = a ^¢-1 и b ^¢= a ^-1.

Разность таких чисел можно сделать сколь угодно малой, а так как между ними содержится 1: , то это и есть что и требовалось доказать.

,

где 0< а₁ < a; так как в нет наибольшего, то а можно без ограничения общности брать > a ₁ увеличение а только уменьшает разность a ^¢- a.

Неравенства между вещественными числами сохраняется при умножении обеих его частей на одно и то же положительное число

a £ b Ù g >0 Þ ag £ bg ×