Арифметические действия над монотонными функциями

*. Сумма одноименно монотонных функций одноименно монотонна со слагаемыми.

*. Произведение положительных одноименно монотонных функций одноименно монотонно с сомножителями.

*. Изменение знака монотонной функции (умножение на “-1”) меняет тип монотонности на противоположный.

*. Изменение знака аргумента меняет тип монотонности на противоположный.

*.Переход от положительной монотонной функции f (x) к арифметически обратной ей функции меняет тип монотонности на противоположный.

*. Взаимно-обратные функции одноименно монотонны.

*. Суперпозиция одноименно монотонных функций не убывает.

*. Суперпозиция разноименно монотонных функций не возрастает.

(При этом суперпозиция не строгая, если не строго монотонна хотя бы одна из функций).

Т. (о существовании предела монотонной ограниченной последовательности):

Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.

Монотонная последовательность всегда имеет предел (возможно не собственный).

∆ Пусть к примеру не возрастает и ограничена снизу.

и inf x_n = l *.

Тогда "e > 0 $ N l * > x_N > l *+e " n > N l * < x_n £ x_N < l *+e ▲.

Пример: Рассмотрим последовательность: .

1) . Тогда начиная с некоторого номера.

, т.е. и последовательность монотонно убывает. При этом она ограничена снизу, т.к. > 0.

Следовательно .

В равенстве: перейдем к пределу при :

Þ b = 0× b = 0 Þ .

2) c – любое: , и отсюда: .

Т.к. величина является бесконечно малой тогда и только тогда, когда бесконечно малым является её модуль.