Розкладання періодичної несинусоїдної функції у тригонометричний ряд Фур’є

Особливість спеціальних імпульсів полягає в тому, що вони не можуть бути зображені у вигляді нерозривних функцій часу, тобто з точки зору математики такі процеси описуються розривними функціями.

Аналіз електричних кіл несинусоїдного струму грунтується на розкладанні періодичних несинусоїдних ЕРС, напруги та струму в ряд Фур’є. Відомо, що будь-яку періодичну функцію з

періодом , яке відповідає умовам Діріхле (протягом періоду має скінченну кількість розривань першого роду та скінченну кількість максимумів і мінімумів), можна розкласти в ряд Фур’є.

Змінна величина пов’язана з часом співвідношенням

(10.1) де – період функції протягом часу.

Отже, період функції за змінною дорівнює , а період самої функції за часом – . Запишемо ряд Фур’є:

(10.2)

Складову (тобто при ) називають сталою складовою, або нульовою гармонікою, складову – першою, або основною, синусоїдою (хвилею), а решту складових при >1 називають вищими гармоніками. Основна частота , де – період несинусоїдної періодичної функції.

Для зручності обчислення амплітуд і початкових фаз гармонік ряд Фур’є (10.2) розкривають у вигляді синусів і косинусів аргументу :

(10.3)

де ; ; ;

; . (10.4)

Сталу складову та амплітуди і обчислюють за формулами

;

; . (10.5)

На практиці часто зустрічаються такі функції.

1. Криві симетричні відносно осі абсцис (рис. 10.2,а). Якщо цю криву зсунути вздовж осі на половину періоду і дзеркально відбити її відносно осі , то здобута крива збіжиться з кривою , тобто ці криві (рис. 10.2) задовольняють умову

. (10.6)

При розкладанні в ряд Фур’є функції, що відповідають умові (10.6), не мають сталої складової та парних гармонік, тобто

(10.7)

2. Криві симетричні відносно початку координат (рис. 10.2,б). Вони відповідають умові

. (10.8)

При розкладанні в ряд Фур’є ці функції не мають сталої складової, а початкові фази їх гармонік дорівнюють нулю, тобто відсутні косинусні гар-

моніки:

(10.9)

3. Криві симетричні відносно осі ординат (рис. 10.2,в). Вони відповідають умові

. (10.10)

При розкладанні в ряд Фур’є ці функції мають початкові фази , тоб-то не мають синусних складових:

(10.11)

Рис.10.2

Гармонічні ряди характерних періодичних функцій, іх діючі та середні значення, а також коефіцієнти форми і амплітуди наведено в табл. 10.1.

Якщо функцію задано у вигляді графіка, а також при обчисленнях гармонічного складу на ПМК і ЕОМ, користуються формулами чисельного аналізу. При цьому період функції розбивають на однакових інтервалів шириною кожний і замінюють наближено визначені інтеграли (10.5) кінцевими сумами. Потім користуються формулами, які безпосередньо виводять із формул (10.5). При цьому виконують таку заміну:

; ; ,

де ; – номер гармоніки,

Отже, виконавши зазначену заміну, дістанемо робочі формули:

; ; (10.12)

.

Із формул (10.5) і (10.12) випливає, що є середнім значенням функції з періодом .