Логарифмическое дифференцирование

Производная показательно-степенной функции

находится с помощью приёма логарифмического дифференцирования. Он состоит в следующем. Сначала надо прологарифмировать (по основанию е) обе части исходного равенства:

или ,

затем взять производные обеих частей полученного равенства, применяя формулы для производной сложной функции и для производной произведения:

Осталось выразить :

или

Замечание. При нахождении производной показательно-степенной функции

можно пользоваться полученной формулой, но обычно применяется сам приём логарифмического дифференцирования для конкретной функции.

Пример 2.10. Найти производную функции

Решение. Прологарифмируем данную функцию:

.

Найдём производные обеих частей полученного равенства:

Отсюда находим

Замечание. Приемом логарифмического дифференцирования удобно пользоваться при нахождении производной функции вида .

Пример 2.11. Найти производную функции

Решение. Прологарифмируем эту функцию: