Кеңістіктегі жазықтық және түзу

5.1 Жазықтық

Кеңістікте қандай да бір жазықтық бірінші дәрежелі теңдеу Ах+Ву+Сz+D=0 қылы анықталады, мұндағы А,В,С коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлден өзгеше.

Бұл теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Егер М() нүктесі жазықтықта жататын болса, онда оның координаттары осы жазықтықтың теңдеуін қанағаттандырады. Бұл дегеніміз x, орнына координата нүктелерін қойғанда дұрыс теңдік шығады.

1-мысал. α жазықтығының теңдеуі берілген:

х-2у+3z-5=0

M(1;2;1), N(1;1;2) нүктелері берілген жазықтықта жататынын тексеру керек.

Шешуі. М нүктесі үшін Осы нүктенің координаттарын жазықтықтың теңдеуіне қойып: 1-4+3-5=0; -5 Басқаша айтқанда М нүктесі жазықтықта жатпайды. Ал N нүктесінің координаттарын теңлеу қойып текскріңіз 1-2+6-5=0

2-мысал. Мына 2х-3у+4z-12=0 жазықтықтың координаттар осімен қиылысын табыңыз.

Шешуі. Жазықтықтың координаттар осімен қиылысуы мынадай нүктелер болады К(х;0;0), М(0;у;0), N(0;0;z) Осыған байланысты жазықтықтың теңдеуіне координаттар осінің екеуін нольге теңестіру арқылы үшінші координата табамыз.

К нүктесі үшін: y=0⇒2x-12=0⇒x=6 K(6;0;0)

М нүктесі үшін: x=0 z=0 -3n -12=0⇒y=-4⇒M(0;-4;0)

N нүктесі үшін: x=0; y=0⇒4z-12=0⇒z=3⇒N(0;0;3)

Жазықтықтың орналасуының дербес жағдайлары

А=0 Ox осіне параллель

В=0

С=0

D=0 Бас нүктеден өтеді

A=D=0 Ох осінен отеді

B=D=0 Оу

C=D=0 Oz

A=B=0 xOy жазықтығына парллель (Oz осіне пернпендикуляр)

A=C=0 xOz()

B=C=0 yOz()

3-мысал. нуктелерінен өтетін Oz осіне параллель жазықтықтың теңдеуін құру керек.

Шешуі. Жазықтық Oz осіне параллель болса, онда С=0. Осыдан, жазықтықтың теңдеуі мына түрге ие: Ах+Ву+D=0. нүктелерінің координаталарын соңғы теңдеуге қойып, мына теңдеулер жүйесін аламыз.

A=1 болса, онда В=1 D=3. Ізделінді теңдеу

4-мысал. М(1;2;-3) нүктесінен және Ох осінен өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. Жазықтық Ох осінен өтетіндіктен, онда A=D=0 Сондықтан жазықтықтың теңдеуі мына түрде болады By-Cz=0. Осы теңдеуге М нүктесінің координаталарын қойып

y=2, z=-32B-3C=0 аламыз. Осыдан В= С=2 болсын, онда В=3. Ізделінді теңдеу 3y+2z=0.

5-мысал. М(1;2;3) нүктесінен өтетін және Оу осіне перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін құру керек.

Шешуі. Жазықтық Оу осіне перпендикуляр болғандықтан онда А=С. Яғни, жазықтықтың теңдекі мына түрде By-D=0 беріледі. Бұл теңдеуге нүктенің координаттарын қойып у=2, 2B+D=0 аламыз, немесе D=-2B. B=1 болсын, онда D=-2.

Ізделінді теңдеу у-2=0.