Вправи для повторення 2 страница

1084*. Доведіть, що коли деякі два цілі числа не діляться на 3, то їх сума або різниця діляться на 3.

1085*. Два велосипедисти проїхали шлях від пункту А до пункту В. Перший велосипедист першу половину шляху їхав зі швидкістю 20 км/год, а другу половину ¾ зі швидкістю 16 км/год. Другий же велосипедист першу половину шляху їхав зі швидкістю 19 км/год, а другу половину ¾ зі швидкістю 17 км/год. Хто з них затратив більше часу на шлях від А до В?

Розв’яжіть рівняння:

1086. а) 3 х - 18 = 57- 2 х; б) 3(x – 2) – 4(х - 4) = 5;

в) 250(х + 8) = 125 х – 500; г) 0,3(1 – x) = 0,4(х - 1) – 0,7;

д) е)

є) ж)

1087. а) х (х + 5) – х ² = 2; б) (2 х + 3)(х – 1) = 2 х ²;

в) х (х + 0,1) = (х – 0,1)(х + 0,2); г)

д) (х – 3)(х + 3) = (х + 1)²; е) 2 х (х – 1,5)² = 2 х ³ – 6 х ² + 3.

1088. a) у ³ - 3 у ² = 0; б) х ³ - х = 0;

в) х ² – 6 х + 9 = 0; г) х ³ – 2 х ² – 4 х + 8 = 0;

д) у ² + 2 у – 48 = 0; е)

1089*. а) |3 - 2 x | = 5; б) || х | - 2| = 6.

1090*. а) (| х | + 5)(3| х | - 9) = 0; б) | x (х - 2)| + х ² = 0; в) х ² + 2| х | + 1 = 0.

1091*. Доведіть, що рівняння x ⁴+ 1 + (x - 2)⁴ = 2 х ²не має коренів.

1092*. Розв’яжіть рівняння .

Розв’яжіть задачі 1093–1098, склавши рівняння.

1093. Периметр прямокутника дорівнює 68,4 см. Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна з них на 3,6 см коротша від іншої.

1094. Сума двох чисел дорівнює 52,7, одне з них у 2,4 разу більше від другого. Знайдіть більше із цих чисел.

1095. У першій цистерні втричі більше бензину, ніж у другій. Коли з першої цистерни забрали 400 л бензину, а з другої — 800 л, виявилося, що в перший цистерні бензину стало у 8 разів більше, ніж у другій. Скільки бензину було в кожній цистерні спочатку?

1096. З міста виїхав мотоцикліст і рухався зі швидкістю 40 км/год. Через півгодини услід за ним виїхав автомобіль, швидкість якого дорівнює 60 км/год. Через скільки годин після свого виїзду з міста автомобіль наздожене мотоцикліста?

1097. Нержавіюча сталь є сплавом заліза, хрому й нікелю. Лист з такої сталі містить 15% хрому, 0,5% нікелю, а заліза — на 2,78 кг більше, ніж хрому. Знайдіть масу листа.

1098*. Автобус рухався до міста N зі швидкістю 60 км/год. Дорогою його обігнав легковий автомобіль, що їхав зі швидкістю 80 км/год. Автомобіль прибув до міста N і через 15 хв вирушив у зворотний шлях. На відстані 10 км від міста N він знову зустрів автобус. На якій відстані від міста N були автобус і автомобіль при першій зустрічі?

1099. Функція задана формулою у = –2 х + 3.

а) Знайдіть значення функції, які відповідають таким значенням аргументу: –2; 0; 6.

б) Знайдіть значення аргументу, якому відповідає значення функції: 3; 1.

в) Для якого значення х значення функції дорівнює значенню аргументу?

1100. Побудуйте графік функції у = 2 х – 0,5. За допомогою графіка знайдіть: а) значення функції, якщо х = –0,5; х = 1,5; б) значення х, для якого у = 1,5.

1101. Побудуйте графік функції у = 0,5 х + 1, де -4 £ x £ 3. Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

1102. Побудуйте графік функції:

а) у = – х + 1, де -3 £ x £ 2; б) y = 2 х ² – 2, де -2 £ x £ 2.

в) у = 1,5 х; г) у = –1,5 х; д) у = 3 х + 1; е) у = –1,5 х – 1.

1103. Графік прямої пропорційності проходить через точку A (2; 7). Чи проходить цей графік через точку B (-4; -14)?

1104. На рисунку 47 зображено графік функції. Знайдіть область визначення та область значень цієї функції. Задайте функцію формулою, якщо:

а) 0 £ х £ 2; б) 2 £ х £ 6.

Рис. 47

1105. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

а) у = 1,5 х і у = – х + 5; б) у = –2 х і y = х ².

1106. Для якого значення b графіки функцій у = 3 х + b і у = 2 х + 4 перетинаються в точці, що лежить на осі абсцис?

1107. Чи є пара чисел (2; –1) розв’язком рівняння 2 х + 5 у = -3?

1108. Побудуйте графік рівняння:

а) х + 3 у = 3; б) 2 х - 3 у = 6; в) 2 х = 5; г) -3 у = 6.

1109. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

Розв’яжіть систему рівнянь:

1110. а) б) в)

1111. а) б)

1112. а) б)

1113. Знайдіть точку перетину графіків рівнянь 2 х + 3 у = -2 і 4 х - 5 у = 7.

1114. Чи належить точка перетину графіків рівнянь 2 х + 4 у = -6 і 10 х - у = 12 графіку рівняння 3 х + у = 1?

1115. Графік лінійної функції проходить через точки A (-1; 1) і B (3; -7). Задайте цю функцію формулою.

1116*. Для якого значення k система рівнянь має безліч розв’язків?

Розв’яжіть задачі 1117–1121, склавши систему рівнянь.

1117. Сума двох чисел дорівнює 20,5, одне з них на 2,3 більше від іншого. Знайдіть ці числа.

1118. Два автоматичні станки за 8 год спільної роботи виготовляють 2000 деталей. Перший станок за 2 год і другий за 3 год разом виготовляють 630 деталей. Скільки деталей виготовляє за годину кожний станок?

1119. З пунктів А і В, відстань між якими дорівнює 17 км, вийшли назустріч один одному два туристи і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкості туристів, якщо швидкість одного з них на 0,5 км/год менша від швидкості іншого.

1120. Братові й сестрі разом 10 років. Скільки років кожному з них, якщо через рік брат буде вдвічі старший від сестри?

1121*. Молоко однієї корови містить 5% жиру, а іншої — 3,5%. Змішавши молоко обох корів, одержали 10 л молока, жирність якого дорівнює 4%. Скільки для цього використали літрів молока від кожної корови?

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

До § 1. Лінійні рівняння з однією змінною

1122. Розв’яжіть рівняння:

а) | х - 1| + | x + 1| = 0; б) | х - 4| + |2 x - 8| = 0.

1123. Скільки коренів залежно від числа а (кажуть: параметра а) має рівняння:

а) | х - а | = 0; б) | х | = а; в) | х - а | + | x - 1| = 0?

1124. Розв’яжіть рівняння ах = а з параметром а.

● Розв’язання. Розглянемо два випадки.

1) а ≠ 0. Тоді: ах = а; х = 1 (поділили обидві частини рівняння на а).

2) а = 0. Тоді: ах = а; 0 х = 0; коренем рівняння є будь-яке число.

Відповідь. Якщо а ≠ 0, то х = 1; якщо а = 0, то коренем рівняння є будь-яке
число. ●

Розв’яжіть рівняння з параметром а:

1125. а) х - а = 3; б) х + а = -4; в) 3 х = а;

г) -2 х = а + 2; д) 0,5 х + 3 а = 1,5; е) а - 4 х = 3 а.

1126. а) ах = 5; б) ах = 0; в) ах = 10 а;

г) (а + 2) х = 2; д) 4 ах + 4 а = 8 а; е) а (1 - х) = 5 а.

1127. Дано рівняння а (х - 1) + 5 а = 8(х + а) + 1 з параметром а.

а) Для яких значень а рівняння не має коренів?

б) Чи існують значення а, для яких рівняння має більше, ніж один
корінь?

1128. З міста А до міста В виїхав автобус і рухався зі швидкістю 60 км/год. Через півгодини він зустрів легковий автомобіль, який їхав з міста В. Цей автомобіль доїхав до міста А і через 40 хв виїхав назад до міста В. За 20 км від міста В легковий автомобіль наздогнав автобус. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкість легкового автомобіля весь час становила 90 км/год.

1129. Сплав міді, цинку й олова, загальна маса якого дорівнює 1 кг, містить олова на 20% більше, ніж міді, а цинку ¾ на 50% більше, ніж олова. Знайдіть масу цинку в сплаві.

1130. Оля любить каву з молоком. Коли їй дали повну чашку самої кави, вона відпила чашки і долила молоком. Потім знову відпила чашки і знову долила молоком. Після цього в чашці стало кави на 56 мл більше, ніж молока. Знайдіть місткість чашки.

1131. Велосипедист проїхав деякий шлях зі сталою швидкістю. Якби він їхав на 2 км/год швидше, то затратив би на цей шлях в 1,1 менше часу. З якою швидкістю їхав велосипедист?

До § 2. Цілі вирази

1132. Чи можна в запису * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 поставити замість зірочок знаки «+» або «–» так, щоб значення одержаного числового виразу дорівнювало: а) 5; б) 0; в) 60?

1133. Доведіть, що для будь-якого натурального значення n значення виразу n (n + 1) + (n + 2)(n + 3) є складеним числом.

1134. Вираз а ² + 2 аb + 2 a - b + 4 для a = 2 і деякого значення b набуває значення 0. Якого значення набуває вираз а ² + аb + b ² для тих самих значеннях a і b?

1135. Для деяких натуральних значень m і n число 3 m + 2 n ділиться на 7. Доведіть, що для тих самих значень m і n на 7 ділиться й число:

а) 10 m + 9 n; б) 4 m + 5 n; в) m + 3 n.

1136. Для деяких натуральних значень m і n число 5 m - n ділиться на 8. Для тих самих значень m і n на 8 ділиться і число 3 m + 4 n. Доведіть, що тоді й самі числа m і n діляться на 8.

1137. а) Доведіть, що коли два цілі числа при діленні на 7 дають рівні остачі, то різниця цих чисел ділиться на 7.

б) Доведіть, що серед будь-яких восьми цілих чисел завжди знайдуться два числа, різниця яких ділиться на 7.

1138. Запишіть формулу цілих чисел, які діляться на 5, а при діленні на 2, 3 і 4 дають в остачі 1.

1139. (Задача - жарт.) Жінка несла на базар 2 кошики яєць. Її ненароком штовхнув чоловік, кошики впали, а яйця розбилися. Чоловік, щоб розрахуватися, запитав, скільки було всього яєць. Жінка відповіла:

¾ Я їх не рахувала, але коли складала в кошики по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то щоразу залишалося по одному яйцю, а коли складала по 7, то залишилось 2 яйця. Ще знаю, що в кожний кошик поміщається не більше 70 яєць.

Скільки яєць було в кошиках?

1140. До деякого трицифрового числа праворуч дописали одну цифру і від одержаного числа відняли початкове. Виявилося, що різниця ділиться на 9. Яку цифру дописали?

1141. Доведіть, що число ділиться на 37.

1142. а) Доведіть, що сума чисел , і кратна 111.

б) Доведіть, що не існує трицифрового числа , для якого число + + було б квадратом натурального числа.

1143. Два учні по черзі пишуть n -цифрове число: число одиниць пише перший, число десятків — другий, число сотень — знову перший і т. д. Чи може другий учень досягти того, щоб одержане число ділилося на 9, якщо перший заважає йому це зробити? Розгляньте випадки: а) n = 10; б) n = 15.

До § 3. Одночлени

1144. Доведіть, що для кожного натурального значення n число:

а) 3^{4 n} + 4 ділиться на 5; б) 9^{2 n} - 1 ділиться на 10.

1145. Доведіть, що для кожного натурального значення n число 4^{2 n} + 4 ділиться на 10.

1146. Доведіть, що для кожного натурального значення n число 10 ⁿ – 4 ділиться на 3, але не ділиться на 9.

1147. Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких була б правильною рівність m (m + 1) = 3 ⁿ + 2 ⁿ.

1148. Що більше:

а) 125¹²⁵ чи 25¹⁸⁵; б) 250⁸ чи 375⁷?

1149. Якою цифрою може закінчуватися запис квадрата цілого числа; четвертого степеня цілого числа; восьмого степеня цілого числа?

1150. а) Доведіть, що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює .

б) Чи існують натуральні значення m і n, для яких рівність m ⁴ = 10 ⁿ + 4 є правильною?

в) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких була б правильною рівність m ⁸ = 10 ⁿ + 2.

1151. Знайдіть найменше натуральне число, яке внаслідок множення на 2 дає квадрат натурального числа, а внаслідок множення на 3 — куб натурального числа.

До § 4. Многочлени

1152. а) Число n при діленні на 6 дає в остачі 3, а число m ¾ в остачі 4. Яку остачу при діленні на 6 дає число: 3 n + 5 m; nm?

б) Числа m, n і k при діленні на 5 дають відповідно в остачах 2, 3 і 4. Доведіть, що число nk - m (m - 1) ділиться на 5.

1153. У чотирицифровому числі число десятків і число тисяч на 1 більші від
числа одиниць, а число сотень на 1 більше від числа десятків. Доведіть, що це чотирицифрове число ділиться на 11.

1154. Двоцифрове число в сумі з числом, записаним тими ж цифрами, але у зворотному порядку, дає квадрат натурального числа. Знайдіть усі двоцифрові числа, які мають таку властивість.

1155. Розв’яжіть рівняння (5| x | - 6)(3| x | + 5) = 5(3 x ² + 1).

1156. Розв’яжіть рівняння з параметром:

а) 2(x – 3) = 3(x – a); б) 4(| x | – 1) = a – 4.

1157. Доведіть, що для будь-якого значення параметра а коренем рівняння х (x + а ²) - а ² = x (x - 1) + 2 є додатне число.

1158. Доведіть, що:

а) 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹ + 2¹⁰ = 2¹¹ - 1;

б) 4(1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸ + 5⁹) = 5¹⁰ - 1.

Вказівка. а) 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹ + 2¹⁰ = (2 – 1)(1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹ + 2¹⁰). Виконавши множення, спростіть останній вираз.

1159. Доведіть, що значення виразу27⁷ + 9¹¹ - 81⁵ ділиться на 11.

1160. Доведіть, що значення виразу ділиться на 7 для будь-якого натурального значення n.

1161. Доведіть, що сума чотирьох послідовних натуральних степенів числа 3 ділиться на 120.

Розкладіть на множники:

1162. a) 2 a - a ² - 6 b + 9 b ²; б) 81 x ² - 49 x ² y ² + 144 xy + 64 y ²;

в) a ² b + ab ² + b ² c + bc ² + c ² a + ca ² + 3 abc.

До § 5. Формули скороченого множення

1163. Спростіть вираз(a - (- b) ⁿ)² + (a + (- b) ⁿ)², де n ¾ натуральне число.

1164. Розв’яжіть рівняння:

а) (| x | - х)(| x | + х) = 1- | x |;

б) (2| x | - 1)(2| x | + 1) = (x - 1)(4 x - 1);

в) (1 - | x |)(1 + | x |)(1 + | x |²) + x ⁴ = | x |.

Розкладіть на множники:

1165. а) (a ² + 1)² + 6(a ²+ 1)+ 5; б) (с ² - 3 с)² - 2(с ²- 3 с)- 8;

в) (а ² - 4 a)² - 2 a ² + 8 a - 15; г) (x ² + 2 x)² - 2(x ² + 2 x)- 3.

1166. а) a ⁴+ 4 а ² - 5; б) a ⁴ + а ² + 1.

1167. а) а ²+ b ² + c ² + 2 ab + 2 bc + 2 ca; б) 4 х ² + 4 ху + у ² + 4 х + 2 у + 1.

1168. Доведіть, що значення виразу 25⁶ - 2²¹ ділиться на 497.

1169. Доведіть, що різниця четвертих степенів двох цілих чисел, одне з яких при діленні на 5 дає в остачі 1, а друге ¾ в остачі 2, кратна 5.

1170. Різниця квадратів натуральних чисел m і n є простим числом. Доведіть, що:

а) m = n + 1;

б) число 4 m + n ²є квадратом цілого числа.

1171. Знайдіть усі натуральні числа m і n, для яких є правильною рівність:

а) (m + n)²- n ² = 3; б) m ²- (m - n)² = 9.

1172. Знайдіть усі цілі значення m і n, для яких виконується рівність (n + 2 m)²- (n + m)² = 5.

1173. Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких була б правильною рівність:

а) m ³- (m - 2 n)³ = 99; б) (2 m + 1)³+ (m + 2)³ = 2 ⁿ.

1174. Доведіть, що коли число y є середнім арифметичним чисел x і z, то x ⁴ + 2 x ³ z – 2 xz ³ – z ⁴ – 4 x ² y ² + 4 y ² z ² = 0.

Розв’яжіть рівняння:

1175. а) ; б) 1 - x + x ²+ (x ³ - x ²)²⁰ = x.

1176. а) ; б) | х |² + 2| х | = 3.

1177. а) х ³ – 7 х – 6 = 0; б) х ⁴ + 2 х ² – 3 = 0.

1178. а) ; б) (х ² + 4 х)² – 4 х (х ² + 4 х) + 3 х ² = 0.

1179. Розв’яжіть рівняння з параметром а:

а) ; б) ах - 2 х = 2 а – 4.

1180. Знайдіть найменше значення а, для якого рівняння має хоча б один корінь.

1181. а) Доведіть, що квадрат цілого числа або ділиться на 3, або при діленні на 3 дає в остачі 1.

Вказівка. Ціле число n може мати вигляд: 1) n = 3 k; 2) n = 3 k + 1; 3) n = 3 k + 2, де k ¾ ціле число. Розгляньте три можливі випадки.

б) Доведіть, що для кожного натурального значення п число 3 п + 2 не є квадратом цілого числа.

в) Доведіть, що сума квадратів трьох послідовних цілих чисел не є
квадратом цілого числа.

г) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і п, для яких виконувалася б рівність m ² + 1 = 3 п.

1182.а) Доведіть, що не існує цілих чисел m і n, для яких виконувалася б рівність 8 n + 2 = m ².

Вказівка. Припустимо, що такі цілі числа m і n існують. Тоді з рівності 8 n + 2 = m ² випливає, що m ² є парним числом. Тому й число m ¾ парне. Нехай m = 2 k, де k ¾ ціле число. Обґрунтуйте, що рівність 8 n + 2 = 4 k ² для цілих n і k не може бути правильною.

б) Доведіть, що серед чисел виду 8 n + 2, де n ¾натуральне число, немає квадрата цілого числа.

в) Доведіть, що сума квадратів двох послідовних непарних чисел не є квадратом цілого числа.

1183. а) Нехай n ¾ деяке натуральне число. Доведіть, що за числом n ² наступні 2 n натуральних чисел не є квадратами натуральних чисел.

б) Доведіть, що число 5²⁰ + 1 не є квадратом натурального числа.

в) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких виконувалася б рівність 5^{2 m} + 4 = n ².

До § 6. Функції

1184.Два хлопці змагалися у плаванні на дистанції 100 м. На рисунку 48 зображено графіки їхніх запливів на перших 60 м дистанції. Назвіть переможця, вважаючи, що кожний із хлопців плив зі сталою швидкістю. Знайдіть відстань між хлопцями через 45 с після старту; у момент фінішу переможця. 1185.Графік лінійної функції проходить через точки (–1; –2) і (2; 1). Знайдіть усі значення а, для яких точка (2 а; 2 - а) належала б цьому графіку.

Рис. 48

До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними

1186. Знайдіть усі значення параметра а, для яких одним з розв’язків рівняння 2(5 а + 1)² х - 5(2 а - 1)² у = 7 є пара чисел (2; 5).

1187. Розв’яжіть у цілих числах рівняння:

а) 3 n – 7 m = 5; б) n ² – m ² = 9;

в) n ² + 2 mn – 8 m ² = 7; г) n ² + 2 m ² – 2 mn – 4 m + 4 = 0.

1188. Побудуйте графік рівняння: | х | - | y | = 0.

Розв’яжіть систему рівнянь:

1189. а) б)

1190. а) б)