![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
258. Розв’яжіть рівняння:
а) 5 х - 3 = 3 х + 17; б) 7 х + 32 = 12 х + 25;
в) 2(х - 11) - 5(5 - 2 х) = –23; г) 8(-3 х + 4) + 14(3 + 2 х) = 4 + 2 х.
259. Футбольна команда у 15 матчах набрала 23 очка, програвши 6 матчів. У скількох матчах команда здобула перемогу і скільки матчів зіграла внічию? (За перемогу команді нараховується 3 очка, за нічию ¾ 1 очко, за поразку ¾ 0 очок.)
260. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює -8. Перше число на 5 більше від другого, а друге — на 1 менше від третього. Знайдіть ці числа.
8. Властивості степеня з натуральним показником
1. Множення степенів з однаковими основами.
Розглянемо добутки двох степенів з основою а. Врахувавши, що а 1 = а, матимемо:
а 1 а 1 = аa = а 2 = а 1 + 1; а 2 а 1 = (аа) a = ааа = а 3 = а 2 + 1.
Отже, а 1 а 1 = а 1 + 1, а 2 а 1 = а 2 + 1. У цих прикладах добуток степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, який дорівнює сумі показників степенів. Таку властивість має добуток будь-яких степенів з однаковими основами.
Властивість 1 | Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність |
amаn = аm + n .
● Доведення. Врахувавши означення степеня, матимемо:
amаn = =
= аm + n . ●
Із властивості 1, яку ще називають основною властивістю степеня, випливає правило множення степенів:
Щоб перемножити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів додати.
Наприклад:
32 × 33 = 32 + 3 = 35; 24 × 2 = 24 × 21 = 24 + 1 = 25; b 7 × b 8 = b 7 + 8 = b 15.
Правило множення степенів поширюється на добуток трьох і більше степенів. Наприклад:
52 × 54 × 56 = 52 + 4 + 6 = 512; b 5 × b 3 × b 7 × b = b 5 + 3 + 7 + 1 = b 16.
2. Ділення степенів з однаковими основами.
Розглянемо рівність а 2 а 3= а 5, де а ¹ 0. Із цієї рівності за означенням
частки маємо: а 5 : а 3 = а 2. Рівність а 5 : а 3 = а 2 можна переписати так:
а 5 : а 3 = а 5 - 3.
У цьому прикладі частка степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою й показником, який дорівнює різниці показника степеня діленого й показника степеня дільника. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.
Властивість 2 | Для будь-якого числа а ¹ 0 та довільних натуральних чисел m і n, де m > n, справджується рівність |
аm : аn = аm - n .
● Доведення. Оскільки am - n × аn = аm - n + n = аm, тобто am - n × аn = аm, то за означенням частки маємо: аm : аn = аm - n . ●
З доведеної властивості випливає правило ділення степенів:
Щоб поділити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника.
Наприклад: 37: 32 = 37 - 2 = 35; х 4: х = х 4: х 1 = х 4 - 1 = х 3.
3. Піднесення степеня до степеня.
Піднесемо степінь а 2 до куба:
(а 2)3 = а 2 × а 2 × а 2 = а 2 + 2 + 2 = а 2×3.
Отже, (а 2)3 = а 2×3. Із прикладу видно: щоб піднести квадрат числа до куба, потрібно залишити ту ж основу й узяти показник, який дорівнює добутку показників. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.
Властивість 3 | Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n справджується рівність |
(am) n = аmn.
● Доведення.
(am) n = =
= аmn. ●
Із властивості 3 випливає правило піднесення степеня до степеня:
Щоб піднести степінь до степеня, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів перемножити.
Наприклад: (43)5 = 43 × 5 = 415; (b 6)4 = b 6 × 4 = b 24.
4. Піднесення добутку до степеня.
Піднесемо добуток аb до куба:
(аb)3 = аb × аb × аb = (аaa) × (bbb) = а 3 b 3.
Отже, (аb)3 = а 3 b 3. Із прикладу видно: щоб піднести до куба добуток, потрібно піднести до куба кожний множник і результати перемножити.
Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.
Властивість 4 | Для будь-яких чисел а та b і довільного натурального числа n справджується рівність |
(ab) n = аnbn.
● Доведення.
(ab) n = =
×
= аnbn. ●
Маємо таке правило:
Щоб піднести до степеня добуток, досить піднести до цього степеня кожний множник і результати перемножити.
Це правило поширюється на добуток трьох і більше множників. Наприклад:
(5 ab)3 = 53 a 3 b 3 = 125 a 3 b 3; (abху) n = anbnхnуn.
Зауваження. Доведені тотожності amаn = аm + n , аm : аn = аm - n , (am) n = аmn, (ab) n = аnbn, які виражають властивості степеня, дозволяють не тільки замінювати вирази, що стоять у їхніх лівих частинах, виразами, що стоять у правих частинах, а й навпаки:
am + n = аmаn; am - n = аm: аn; аmn = (am) n = (an) m; аnbn = (ab) n.
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Спростити вираз (a 2 а)3 × (a 3 а 2)2.
● (a 2 а)3 × (a 3 а 2)2 = (a 3)3 × (a 5)2 = а 9 a 10 = a 19. ●
Приклад 2. Обчислити:
а) 0,36 : 0,34 + 0,14: 0,1; б) 2,55× 26× 0,45.
● а) 0,36 : 0,34 + 0,14: 0,1 = 0,32 + 0,13 = 0,09 + 0,001 = 0,091;
б) 2,55× 26× 0,45 = (2,55× 0,45) × 26 = (2,5× 0,4)5× 26 = 15× 26 = 64. ●
Приклад 3. Подати 418 у вигляді степеня з основою 42; 43; 46; 49.
● 418 = 42 × 9 = (42)9; 418 = (43)6; 418 = (46)3; 418 = (49)2. ●
Приклад 4. Подати у вигляді степеня добуток а 6 b 6.
● а 6 b 6 = (аb)6. ●
Усно
261. Подайте у вигляді степеня добуток:
a) b 4 b 3; c 3 c; 72 × 75; 310 × 3; б) a 2 а 3 а 4; 2 × 23 × 24.
262. Подайте у вигляді степеня частку:
a) а 6: а 2; b 8: b 3; б) 720: 717; 118: 11.
263. Піднесіть до степеня:
a) (m 3)4; (n 10)2; (b 15)4; б) (pq)2; (2 b)3; (abc)4.
Рівень А
Подайте у вигляді степеня добуток:
264. a) a 5 а 2; б) b 4 b 6; в) yy 7;
г) x 25 x 73; д) 28 × 212; е) 0,315 × 0,3;
є) 53 × 5 × 54; ж) 34 × 3 × 36 × 3; з) b 5 bb 2 b 4.
265. a) m 3 m 6; б) y 7 y 5; в) c 5 c; г) b 15 b 25;
д) 105 × 1010; е) 2,5 × 2,53; є) 2 × 22 × 27; ж) a 2 a 4 aa 2.
Подайте у вигляді степеня частку:
266.a) х 10: х 3; б) а 15: а 5; в) 528: 521; г) 0,18: 0,12.
267. a) с 12: с 9; б) b 26: b 8; в) 417: 415; г) 0,710: 0,74.
268. Подайте степінь b 15 у вигляді добутку двох степенів з основою b чотирма способами.
269.Подайте степінь х 12 у вигляді добутку двох степенів, одним з яких є: х; х 2; х 4; х 7; х 9.
270. а) Подайте у вигляді степеня з основою b:(b 3)3;(b 4)5; (b 5)7; (b 25)4.
б) Подайте у вигляді степеня з основою ab: a 3 b 3; a 5 b 5.
271. а) Подайте у вигляді степеня з основою m: (m 5)3; (m 2)7; (m 5)4.
б) Подайте у вигляді степеня з основою mn: m 2 n 2; m 7 n 7.
Піднесіть до степеня:
272. а) (ab)5; б) (4 c)2; в) (-2 x)3; г) (-0,1 a)2;
д) (3 xy)3; е) (-2 mn)5; є) (mnk)8; ж) (4 abcd)4.
273. а) (st)7; б) (-3 b)3; в) (-2 mn)4; г) (5 klm)3.
Знайдіть значення виразу:
274. а) 58 : 55; б) 0,29 : 0,27; в) (-2)7 : (-2)4; г) (32)3 : 34;
д) 87 : 85 - 32 × 3; е) 1,59 : 1,58 - 0,52.
275. а) 418 : 415; б) 0,58 : 0,56; в) 35 : 32 + 46 : 44; г) (102)2 - 56 : 53.
Рівень Б
Подайте у вигляді степеня:
276. а) 24 × 16; б) 37 : 27;
в) 0,54 × 0,25; г) 0,001 × 0,15.
277. а) 93 × 81; б) 64 × 23;
в) 310 : 81; г) 1,21 × 1,14.
Знайдіть значення виразу:
278. а) 24 × 54; б) 43 × 253; в) 0,56 × 26; г) 1,255 × 25 × 45;
д) е) 163: (412: 84);
є) (0,518: 0,56) × (216: 24); ж)
279. а) 53 × 23; б) 82 × 1252; в) 0,259 × 29 × 29; г)
д) (278: 95) : (94 × 32); е)
280. а) Подайте z 20 у вигляді степеня з основою z 2; z 4; z 5; z 10.
б) Подайте 220 у вигляді степеня з основою 4; 16; 32.
281. а) Подайте c 12 у вигляді степеня з основою с 2; с 3; с 4; с 6.
б) Подайте 312 у вигляді степеня з основою 9; 27; 81.
282. Подайте у вигляді степеня з основою а:
a) ama 2; б) aak; в) (am)2; г) (a 3) k.
Спростіть вираз:
283. а) (а 3 a 4)5; б) (a 7 : а)3; в) (а 2)3 × (а 4)4; г) (а 5)5 : (аа 4)2.
284. a) (a 5 a 6)2; б) (a 8 : a 5)5; в) (a 4)2 × (a 2)4; г) (a 6)3 : (a 3)2.
Рівень В
285. Подайте у вигляді степеня з основою а:
а) б)
в) г)
286. Доведіть, що куб натурального числа, кратного 3, ділиться на 27.
287. Що більше: 2300 чи 3200?
288. Обчисліть:
289. Доведіть, що значення виразу 4343 × 4243 – 3333 × 3733 ділиться на 5.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2647 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!