Вправи для повторення. а) суму числа m і числа, протилежного числу n;

100. Запишіть:

а) суму числа m і числа, протилежного числу n;

б) різницю числа s і числа, протилежного числу - t;

в) добуток найбільшого від’ємного цілого числа і суми чисел а та b.

101. До частки чисел -1,8 і –1,3 додайте добуток чисел 4,8 і –1,05.

102. Знайдіть значення виразу 2 x ² - 4 y ², якщо х дорівнює найменшому цілому числу, яке задовольняє нерівність -5,4 < x < -2,7, а y ¾ найбільшому цілому числу, яке задовольняє нерівність -15,4 £ у £ -2.

103. Поставте замість зірочок такі цифри, щоб число:

а) 1* 48 ділилося на 9; б) 3* 4* ділилося на 3 і на 5.

104. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

а) х - (х - 1) + (х + 1); б) 2(1,5 а - 2(а - 1,5));

в) 2(a + 2 b + 3 c) - (a + 3 b + 5 c) – (a + b + c).

105. Оленка має фломастери шести кольорів. Скількома способами вона може написати число 2002 так, щоб різні цифри мали різний колір, а однакові цифри — однаковий колір?

Цікаво знати

Протягом багатьох століть алгебра була наукою про рівняння та способи їх розв’язування. Лінійні рівняння вміли розв’язувати ще давні єгиптяни й вавилоняни (І тис. до н.е.).

Про стан математики в Давньому Єгипті можна дізнатися з математичних текстів, написаних на особливому папері — папірусі, виготовленому зі стебел рослини, яка має таку ж назву. Написання деяких папірусів відносять до XVIII ст. до н. е., хоча описані в них математичні факти були відомі давнім єгиптянам задовго до їх написання.

Один з таких папірусів був знайдений у 1872 році в одній з єгипетських пірамід. Його придбав англійський колекціонер предметів старовини Райнд і зараз цей папірус — папірус Райнда — зберігається в Лондоні.

У папірусі Райнда особливе місце посідають задачі на «аха» («хау»).
Це задачі, які розв’язуються за допомогою лінійних рівнянь з одним невідомим. «Аха» («хау») означає «сукупність», «купу» (невідому величину).
Приклад такої задачі: «Купа. Її , її , її і її ціле. Це 33». Якщо позначити «купу» — невідому величину — через x, то за цією задачею одержимо рівняння: .

Більш помітні успіхи у створенні початків алгебри були досягнуті в Давньому Вавилоні. До нашого часу збереглися вавилонські глиняні плитки з комбінаціями клиновидних рисочок — клинописи. Ці плитки відігравали у Вавилоні таку ж роль, як папіруси в Єгипті. На плитках трапляються і клинописні математичні тексти, які свідчать, що уже близько 4000 років тому у Вавилоні могли розв’язувати рівняння, що містять квадрат невідомого.

Діофант (ІІІ ст.), давньогрецький математик з Александрії

Починаючи із VII ст. до н. е., давні греки, ознайомившись з досягненнями єгиптян і вавилонян в галузі математики, продовжили їх науку. Проте доволі мало грецьких вчених для розв’язання задач використовували рівняння. Одним із тих, хто використовував рівняння, був давньогрецький математик Діофант.

Про Діофанта відомо небагато, навіть точно не встановлено роки його життя. Дещо про його життя і про те, скільки він прожив років, можна судити з напису на його могильній плиті.

Напис на плиті	Мовою алгебри
Подорожній! Поховано тут Діофанта. І числа розкажуть тобі, Який довгий шлях він життєвий пройшов.	x
Шосту частину його життя становило веселе дитинство.
Минула частина дванадцята — Й пухом покрилося його підборіддя.
Сьому — в бездітному шлюбі прожив Діофант.
Минуло п’ять літ.
Ощасливлений він був народженням первістка-сина, Якому судилася лише половина життя його батька.
І в глибокій журбі Старець закінчив свій шлях на Землі, Де прожив років чотири з часу, Коли сина не стало.
Скажи: віку якого досягши, Славетний помер Діофант?	x = + + + 5 + + 4.

Грецьку науку в середні віки перейняли вчені Сходу — індійці та араби. Саме на Сході в IX ст. алгебра стає самостійною математичною наукою.

Походження слова «алгебра» також пов’язане зі Сходом.

Місто Багдад у VII–IX ст. було столицею могутнього Арабського халіфату. Багдадські халіфи сприяли розвитку природничих і математичних наук. За панування халіфа Гаруна ал-Рашида в Багдаді була заснована велика бібліотека, а халіф ал-Мамун організував своєрідну академію — «Будинок мудрості» й побудував добре обладнану обсерваторію.

При дворі ал-Мамуна жив і працював учений Мухаммед бен Муса ал-Хорезмі(близько 780 — близько 850). Він зібрав та систематизував способи розв’язування рівнянь й описав їх у роботі «Кітаб ал-джебр ал-мукабала», що дослівно означає «Книга про відновлення і протиставлення». У той час від’ємні числа вважались «несправжніми», і коли в процесі розв’язування рівняння в якійсь його частині з’являлось від’ємне число, його потрібно було перенести в іншу частину. Цю операцію називали відновленням (ал-джебр), тобто переведенням «несправжніх» (від’ємних) чисел у «справжні» (додатні). За допомогою протиставлення (ал-мукабала) відкидали однакові доданки в обох частинах рівняння.

Мухаммед бен Муса ал-Хорезмі (IX ст.), арабський математик, астроном і географ. Уперше розглядає алгебру як самостійний розділ математики

У XII ст. твір ал-Хорезмі переклали латинською мовою, зберігши в його назві лише слово «ал-джебр», яке згодом стали вимовляти як алгебра.

Поступово сформувалася сучасна алгебра, яка охоплює не тільки теорію розв’язування рівнянь, а й способи проведення операцій (дій) з різноманітними об’єктами (зокрема, із числами).

Запитання і вправи для повторення § 1

1. Наведіть приклади рівнянь.

2. Що називають коренем рівняння? Чи є число 4 коренем рівняння 3 х - 2 = х + 6?

3. Що означає розв’язати рівняння?

4. Сформулюйте властивості рівнянь.

5. Дайте означення лінійного рівняння. Наведіть приклад лінійного
рівняння.

6. Скільки коренів може мати лінійне рівняння?

106. Доведіть, що число 2,5 є коренем рівняння:

а) 3 x - 5 = x; б) х (х - 0,5) = 4 х - 5.

107. Яке з чисел -2; -1,2; 1,8 є коренем рівняння 5 x - 3 = 10 x + 3?

108. Скільки коренів має рівняння:

а) x = 12; б) = 1; в) 0(x + 3) = 0?

Розв’яжіть рівняння:

109. а) 2 х - 3 = 5(x - 3); б) 12(х - 1) = 24(x + 1);

в) 0,6(2 х - 3) - 1,5(х + 4) = -4,2 x; г) 2(3 - 2(x + 1)) = 6(2 - х);

д) (2 х + 5) + 0,25(х + 3) = е) 24(х - 3) + 18(x - 2) = 30(3 х - 10);

є) ж)

110*. а) 2| х | + 0,2 = б) 3 - 2(1- 2| х |) = 11 - | х |;

в) | х - 2| = 2; г) 3|2 х + 1| - 7 = 2.

111 *. а) 5 x – 2| х | = 21; б) 2(| х | - 5) = 3 x – 7.

112. Периметр прямокутника дорівнює 48 см, до того ж, його довжина втричі більша від ширини. Знайдіть площу прямокутника.

113. Периметр трикутника дорівнює 30 см. Знайдіть довжину кожної сторони трикутника, якщо перша його сторона на 4 см коротша від другої, а друга ¾ в 1,2 разу довша від третьої.

114. Трактор зорав поле за 3 дні. За перший день було зорано 35% площі поля, за другий ¾ на 4 га менше, ніж за перший, а за третій день ¾ 25 га. Знайдіть площу поля.

115. Теплохід пройшов шлях завдовжки 90 км. Деяку частину цього шляху теплохід йшов зі швидкістю 30 км/год, а решту ¾ зі швидкістю 25 км/год. Який шлях пройшов теплохід зі швидкістю 30 км/год, якщо на весь шлях він затратив 3,5 год?

116*. Туристу треба пройти шлях від села до станції завдовжки 10 км. Коли він вийшов із села, до відходу поїзда, на який він поспішав, залишалося 3 год. Долаючи 3 км за годину, турист зрозумів, що запізнюється на поїзд, і пішов зі швидкістю 4 км/год. На станцію він прийшов за 12 хв до відходу поїзда. Скільки часу рухався турист зі швидкістю 3 км/год?

117*. Є два сплави міді й олова; перший містить 40% міді, а другий ¾ 60%. Скільки потрібно взяти кожного сплаву, щоб одержати 10 кг нового сплаву, який містив би 54% міді?

118*. За першу поїздку автомобіль витратив 25% бензину, що був у баку, за другу ¾ на 40% менше, ніж за першу. Після цього в баку залишилося бензину на 8 л більше, ніж було витрачено за обидві поїздки. Скільки літрів бензину було в баку спочатку?

Завдання для самоперевірки № 1

1 рівень

1. Яке з чисел є коренем рівняння 4 x + 2 = 10?

а) 1; б) -2; в) 2; г) 3.

2. Скільки коренів має рівняння (x - 2)(x + 2) = 0?

а) Один; б) два; в) безліч; г) коренів немає.

3. Які з даних рівнянь є лінійними рівняннями?

а) б) y ² = 4; в) 2: х = 3; г) –2 y = 0.

4. Розв’яжіть рівняння 7 y – 3 = 3 y + 5 та вкажіть правильну відповідь:

а) -2; б) 2; в) 0,8; г) 0,5.

5. Книжка й альбом коштують 6 грн., до того ж, книжка в 4 рази дорожча від альбому.

Яке з рівнянь треба скласти, щоб знайти ціну альбому (х ¾ ціна альбому в гривнях)?

а) x + 6 х = 4; б) 6 x - х = 4; в) x + 4 х = 6; г) 4 x - х = 6.

2 рівень

1. Складіть лінійне рівняння, коренем якого є число 3.

2. Скільки коренів має рівняння:

а) 7 x = 1; б) 0 × x = –2; в) 2 x = 0; г) 0 × x = 0?

3. Розв’яжіть рівняння:

а) 2(x - 3) = 5 x - 9; б) 4 - 5(1 - 2 х) = 1 - 6 х.

4. Швидкість велосипедиста на 10 км/год більша від швидкості пішохода. Відомо, що за 2 год велосипедист долає таку ж відстань, яку пішохід проходить за 6 год. Знайдіть швидкість пішохода.

3 рівень

1. Чи мають рівняння (x - 1)(x + 2) = 0 і x + 2 = 0 одні й ті ж корені?

2. Розв’яжіть рівняння:

а) 160 х + 560 = -160(3 x - 1); б)

3. У двох сувоях є 81 м тканини, до того ж, у першому — на 70% більше, ніж у другому. Скільки метрів тканини у кожному сувої?

4. У першому резервуарі є 420 м³ води, а у другому ¾ 750 м³. З обох резервуарів почали одночасно випускати воду. З першого резервуара щогодини витікає 28 м³ води, а з другого ¾ 38 м³. Через скільки годин у першому резервуарі стане вдвічі менше води, ніж у другому?

4 рівень

1. Доведіть, що рівняння і мають одні й ті ж корені.

2. Розв’яжіть рівняння:

а) б) 2(| х | - 3) = 4| х | - 10.

3. Екскаватор мав вирити траншею певної довжини. За перший день він вирив 30% довжини всієї траншеї, за другий ¾ на 10% більше, ніж за перший, а за третій ¾ решту 111 м. Знайдіть довжину траншеї.

4. Сплав міді й олова має масу 12 кг і містить 45% міді. Скільки кілограмів олова потрібно додати до цього сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 40% міді?

Розділ ІІ. ЦІЛІ ВИРАЗИ

Розв’язування багатьох задач з математики, фізики, хімії пов’язане з необхідністю проводити певні перетворення виразів. У даному розділі ми з’ясуємо, що таке вираз, цілий вираз, що таке тотожне перетворення виразу, вивчимо основні формули, на основі яких можна здійснювати перетворення виразів.

(a + b)² = a ² + 2 ab + b ²

§ 2. ЦІЛІ ВИРАЗИ

5. Вирази зі змінними. Цілі вирази

1. Вирази зі змінними. Розглянемо кілька задач.

Задача 1.Довжина прямокутної ділянки дорівнює 42 м, а ширина — на b м менша від довжини. Записати у вигляді виразу площу ділянки.

● Ширина ділянки дорівнює (42 - b) м, а площа — 42(42 - b) м².

Відповідь. 42(42 - b) м². ●

Вираз 42(42 - b) містить букву b і такий вираз ми називали буквеним виразом.

Букві b можна надавати різні значення, b може дорівнювати 0,8; 5; 7,2; 10 тощо, тобто значення b можна змінювати, а тому b називають змінною, а вираз 42(42 – b) — виразом зі змінною.

Задача 2.Довжина прямокутної ділянки дорівнює а м, а ширина — на b м менша від довжини. Записати у вигляді виразу площу ділянки.

● Ширина ділянки дорівнює (а - b) м, а площа — а (а - b) м².

Відповідь. а (а - b) м². ●

Букви a і b також можуть набувати різних значень, тому a і b — змінні, а вираз a (a – b) — вираз із двома змінними.

Вираз зі змінними утворюють зі змінних, чисел, знаків дій і дужок. Виразом зі змінною вважають й окремо взяту змінну.

Якщо у вираз 42(42 - b) замість змінної підставити певне число, наприклад, число 12, то одержимо числовий вираз 42 × (42 - 12), значення якого дорівнює: 42 × (42 - 12) = 42 × 30 = 1260. Одержане число 1260 називають значенням виразу 42(42 - b) для значення змінної b = 12.

Значення виразу а (а - b) для а = 30, b = 7 дорівнює:

30 × (30 - 7) = 30 × 23 = 690.

Розглянемо вираз зі змінною: Значення цього виразу можна знайти для будь-якого значення а, крім а = -4. Якщо а = -4, то дільник (знаменник) а + 4 дорівнює нулю, а на нуль ділити не можна. Кажуть, що для а ¹ -4 вираз має зміст, а для а = -4 він не має змісту.

2. Цілі вирази. Порівняємо вирази

а + b, 7 а, b,

з виразами

а: b, .

Вирази першої групи не містять дії ділення на вираз зі змінними. Такі вирази називають цілими.

Вирази другої групи містять дію ділення на вираз зі змінними. Такі вирази називають дробовими. Ми вивчатимемо їх у 8 класі. У 7 класі розглядатимемо тільки цілі вирази.

3. Формули. Вирази зі змінними використовують для запису формул. Наприклад:

S = ab ¾ формула для обчислення площі прямокутника;

V = abc ¾ формула для обчислення об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Формулою n = 2 k (де k ¾ ціле число) задаються парні числа, а формулою n = 2 k + 1 ¾ непарні числа.

Для тих, хто хоче знати більше

Формулами можна задати всі цілі числа, які при діленні на задане натуральне число дають одну й ту ж остачу.

Розглянемо спочатку приклад ділення двох натуральних чисел. Поділимо 48 на 5 з остачею:

Одержали: 9 ¾ неповна частка, 3 ¾ остача.

Натуральні числа, не кратні числу 5, при діленні на 5 можуть дати в остачі 1, 2, 3 або 4. Числа, кратні числу 5, діляться (націло) на 5. Ще кажуть, що такі числа при діленні на 5 дають в остачі 0.

Поділивши 48 на 5, ми знайшли два числа 9 та 3 (неповну частку та остачу), використовуючи які, число 48 можна записати у вигляді

48 = 5 × 9 + 3.

Ділення будь-якого цілого числа на натуральне з остачею зводиться до знаходження подібної рівності.

Поділити ціле число m на натуральне число n з остачею означає знайти такі цілі числа k і r, щоб виконувалась рівність

m = nk + r, де 0 £ r £ n – 1.

За цих умов число k називають неповною часткою, а r ¾ остачею від ділення m на n.

Остач від ділення цілих чисел на натуральне число п може бути п:

0, 1, 2,..., п - 2, п - 1.

Знайдемо для прикладу остачу від ділення числа –17 на число 3. Для цього запишемо число –17 у вигляді –17 = 3 k + r, де k і r — цілі числа, до того ж, 0 £ r £ 2. Щоб число r лежало в межах від 0 до 2, потрібно узяти k = –6. Тоді легко знайти, що r = 1. Маємо правильну рівність -17 = 3 × (-6) + 1. Отже, число –17 при діленні на 3 дає в остачі 1.

Цілі числа при діленні на 3 можуть давати в остачі 0, 1 або 2. Відповідно до цього їх можна поділити на 3 групи.

Цілі числа	Остача при діленні на 3	Вид чисел
... -9; -6; -3; 0; 3; 6; 9;...		3 k
... -8; -5; -2; 1; 4; 7; 10;...		3 k + 1
... -7; -4; -1; 2; 5; 8; 11;...		3 k + 2

Отже, формулами m = 3 k, m = 3 k + 1 і m = 3 k + 2, де k ¾ довільне ціле число, задаються усі цілі числа, які при діленні на 3 дають в остачі відповідно 0, 1, 2. Про числа m = 3 k ще кажуть, що вони діляться (націло) на 3. Так, –9 ділиться на 3.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Записати у вигляді виразу:

а) добуток числа а і суми чисел b та с;

б) частку різниці чисел m та n і числа 7;

в) різницю числа а і добутку чисел m та n.

● а) а (b + с); б) (m - n): 7; в) а - mn. ●

Зауваження. Читаючи словами числові вирази чи вирази зі змінними, першою називають останню по порядку виконання дію, далі передостанню і т. д.

Приклад 2. Знайти значення виразу а ²(b + c), якщо а = 4, b = -7, с = 2.

● Якщо а = 4, b = -7, с = 2, то

а ²(b + c) = 4² × (-7 + 2) = 16 × (-5) = -80.

Відповідь. -80. ●

Приклад 3. Знайти значення виразу (m + n)² - 3 n, якщо m = n =

● Якщо m = n = то

(m + n)² - 3 n = = = = =

Відповідь. ●

Приклад 4.Записатиу вигляді виразу число, яке має 9 сотень, c десятків, d одиниць.

● 9 · 100 + с · 10 + d = 900 + 10 с + d. ●

Усно

123. Серед записів вкажіть числові вирази, вирази зі змінними та записи, що не є виразами:

а) 7,2: 3; б) 5; в) 2 х = 3; г) (18 - 3): 5 = 3;

д) a - c; е) 15 – 8 а; є) ж) abx ².

124. Прочитайте словами вирази зі змінними:

а) 5 + х; б) y: 7; в) 2 ab; г) (abc - 2): 4;

д) (a - 3): а; е) є) ж)

Які з даних виразів є цілими виразами?

125. Складіть три вирази із числа 7 та змінних a і b.

126. Складіть два вирази із чисел 5 і 11 та змінної х.

Рівень А

Запишіть у вигляді виразу:

127. а) суму чисел 12 і а; б) частку чисел - с і 7;

в) куб числа а; г) піврізницю чисел а і b.

128. а) добуток числа 3 і суми чисел а та с;

б) потроєний добуток чисел b і с;

в) різницю числа а і квадрата числа с.

129. а) різницю чисел b і 9; б) добуток чисел 3 і - а;

в) квадрат числа х; г) півсуму чисел m і n;

д) добуток різниці чисел 3 та с і числа 5;

е) подвоєну частку чисел а і с.

Знайдіть значення виразу:

130. а) 7 b - 3, якщо b = -9; б) 0,11 - 4 c ², якщо c = 0,2;

в) 3 а + b, якщо а = -3; b = 8; г) аb - 4 c, якщо а = -0,4; b = 7; c = 0,12.

131. а) , якщо а = 4; б) , якщо х = -3.

132. а) -2 а + 5,2, якщо а = -3; б) (1 - 4 s)², якщо s = 2;

в) 12(3 у - 5), якщо y = 1,5; г) x - 2 y, якщо х = 11; y = -5,5;

д) 3(а + b) - 2 c, якщо а = 3,2; b = -7,7; c = 2,5.

Заповніть таблицю:

133.

а	-4	-1		0,5
4 - 3 а

134.

х	-5	-3			1,5	2,5
2 х - 3

135.

х				-2	-4
у		-1			-0,5	-1
х - 2 y

136.

b	-2		0,5			3,5

137. Швидкість автомобіля дорівнює 75 км/год. Запишіть у вигляді виразу шлях, який автомобіль проїде за t год.

138. На склад завезли n мішків борошна по 50 кг у кожному. Запишіть у вигляді виразу масу всього завезеного борошна. Знайдіть значення цього виразу, якщо n = 48.

139. Робітник за день виготовляє 32 деталі. Запишіть у вигляді виразу кількість деталей, які робітник виготовить за k днів. Знайдіть значення цього виразу, якщо k = 5.

140. З ділянки, площа якої дорівнює а га, господарство зібрало по 38 ц пшениці з гектара, а з ділянки, площа якої дорівнює b га, ¾ по 42 ц. Запишіть у вигляді виразу масу пшениці, зібраної господарством з обох ділянок.

141. Майстерня закупила 50 м тканини по а грн. за метр і 30 м тканини по b грн. за метр. Запишіть у вигляді виразу вартість усієї тканини.

Рівень Б

Знайдіть значення виразу:

142. а) якщо a = 16,17; b =

б) якщо m = n =

143. а) якщо х = у =

б) якщо а = b = 2.

144. За формулою S = v t знайдіть шлях (у кілометрах), якщо:

а) v = 75 км/год; t = 0,6 год; б) v = 75 км/год; t = 20 хв;

в) v = 20 м/с; t = 2 год; г) v = 900 м/хв; t = 25 с.

145.За формулою S = v t знайдіть шлях (у метрах), якщо:

а) v = 8 м/с; t = 5 хв; б) v = 15 км/год; t = 6 хв.

146. Для яких значень х значення виразу 2 х + 5 дорівнює 10?

147. Для яких значень х значення виразу 4 – 2 х дорівнює 18?

148. Для яких значень х значення виразів 3 х - 12 і -4 - х дорівнюють одне одному?

149. Відомо, що для деяких значень х та y значення виразу хy дорівнює 0,4. Якого значення для тих самих значень х та y набуває вираз:

а) 10 хy; б) 0,1 хy; в) г) ?

150. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 4 дають в остачі 1.

151.Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 5 дають в остачі 2.

Запишіть у вигляді виразу число, яке має:

152. а) а десятків і b одиниць; б) а сотень і с одиниць;

в) а сотень, 7 десятків і b одиниць; г) а тисяч, b сотень і а одиниць.

153. а) а сотень і b десятків; б) 5 сотень, а десятків і b одиниць.

154. Запишіть у вигляді виразу площу поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами а см, b см, c см.

155.Запишіть у вигляді виразу площу поверхні куба з ребром а см.

Рис. 2 Рис. 3

156. Запишіть у вигляді виразу площу фігури, зображеної на рисунку 2.

157.Запишіть у вигляді виразу площу фігури, зображеної на рисунку 3.

158. На ділянці росло n кущів смородини. З цієї ділянки k кущів пересадили на іншу ділянку, а на ній посадили 30 нових кущів. Скільки кущів смородини стало на ділянці? Запишіть результат у вигляді виразу і знайдіть його значення, якщо n = 83, k = 45.

159. Оксана купила n олівців по 25 к. і 4 зошити по а к., заплативши за зошити більше, ніж за олівці. На скільки більше заплатила Оксана за зошити, ніж за олівці? Запишіть результат у вигляді виразу і знайдіть його значення, якщо n = 3, а = 65.

160. Із двох міст одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі й зустрілися через 2 год. Один рухався зі швидкістю 80 км/год, а інший ¾ зі швидкістю v км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між містами.

Рівень В

161. Число d є добутку перших n натуральних чисел: d = 1 × 2 × 3 × … × n. Знайдіть d, якщо n = 5; n = 7. Скількома нулями закінчується запис числа d, якщо n = 10; n = 100?

162. Знайдіть найменше значення виразу: х ² + 5; | х | - 3.

163. Знайдіть найбільше значення виразу: 1 - х ²; 3 - | х |.

164. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 9 дають в остачі 2. Знайдіть кількість таких чисел у межах від 100 до 300.

165. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 2 дають в остачі 1, а при діленні на 3 дають в остачі 2.