Вправи для повторення. 319. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

318. Розв’яжіть рівняння:

а) 2(х – 1) + 3(2 – х) = 2; б)

319. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

а) 7 с - 5 + (3 с + 1 - 8 с); б) 2 а + 8 – (3 а + 12 – 6 а);

в) (-2 b + 4) – (4 b - 1) + 6 b; г) (-3 x + 5) - (3 – x) - (2 + 2 x).

320. Для купівлі телевізора сім’я відкладала щомісяця одну й ту ж суму
грошей. Після того як через 10 місяців необхідна сума була зібрана, підрахували, що якби щомісяця відкладали на 25 грн. більше, то зібрати необхідну суму грошей можна було б на 2 місяці раніше. Скільки
коштує телевізор?

321. З міста А до міста В вийшов поїзд і йшов зі швидкістю 60 км/год, а через 3 год назустріч йому з міста В вийшов другий поїзд і йшов швидкістю 75 км/год. Коли поїзди зустрілися, з’ясувалося, що перший пройшов на 105 км більше, ніж другий. Знайдіть відстань між містами А і В.

322*. Числа а і b задовольняють умови: a > 0; a + b < 0.

а) Знайдіть знак числа b. б) Що більше: | а | чи | b |?

Цікаво знати

Поняття степеня з натуральним показником виникло ще в античні часи у зв’язку з обчисленням площ і об’ємів. Тлумачення степенів а ² і а ³ було геометричним: а ² — це площа квадрата зі стороною а, а ³ — об’єм куба з ребром а. Звідси і назви «квадрат» і «куб» для степенів а ² і а ³, які використовуються й досі. Щоправда, така геометрична прив’язка в ті часи послужила гальмом для розвитку алгебри. Степені а ⁴ («квадрато-квадрат»), а ⁵ («кубо-квадрат») і т. д. залишалися ніби «поза законом», оскільки не мали відповідного геометричного підґрунтя.

Лише у XVII ст. французький математик Рене Декарт (1596–1650) дав геометричне тлумачення добутку довільної кількості множників, після чого й добуток набув «офіційного статусу». Декарт же увів і сучасне позначення степеня з натуральним показником у вигляді а^п.

Запитання і вправи для повторення § 3

1. Що називають степенем числа з натуральним показником?

2. Наведіть приклад степеня з натуральним показником та назвіть його основу й показник.

3. Який знак має степінь з натуральним показником залежно від знака основи?

4. Сформулюйте й доведіть основну властивість степеня.

5. Сформулюйте й доведіть правила множення та ділення степенів з однаковими основами, піднесення добутку до степеня та піднесення степеня до степеня.

6. Наведіть приклади одночленів. З чого складається одночлен?

7. Який одночлен називають одночленом стандартного вигляду? Наведіть приклад такого одночлена.

8. Як знайти степінь одночлена?

323. Знайдіть значення степеня:

а) 10⁴; б) (-3)⁶; в) (-0,5)³; г) (-2,4)³;

д) 1,02⁴; е) є) ж)

324. Обчисліть:

а) (-4) × 2⁴; б) (-4) × (-2⁴); в) 5² × (-2)³; г) 5³ × (-6³);

д) (7² - 3²)²; е) (-4 × 1,5 + 8)⁵; є) 2⁸ + (-2)⁵; ж) (-0,125 × 2³)¹⁵.

325. Знайдіть значення виразу:

а) а ⁴ - 81, якщо а = -3; 0; 3; б) (2 х - 3)³, якщо х = -1; 3.

326. а) Подайте у вигляді квадрата число: 64; 169; 1,44; 0,0001;

б) Подайте у вигляді куба число: 64; 1000; -27; 0,008;

Подайте вираз у вигляді степеня:

327. a) a ³ а ⁵; б) b ⁹: b ⁸; в) yy ⁸; г) a ⁵ aa ⁴;

д) 6⁴ × 6²¹; е) (p ²)⁵; є) (7⁵)⁴; ж) (5³ : 5)⁷.

328. Подайте степінь 3²⁴ у вигляді добутку двох степенів, одним з яких є: 3²; 3⁴; 3⁹; 3¹⁵.

329. а) Подайте степінь а ³⁶ у вигляді степеня з основою а ²; а ³; а ⁹; а ¹².

б) Подайте степінь 4¹⁸ у вигляді степеня з основою 2; 16; 8.

330. Піднесіть одночлен до степеня:

а) (ху)⁴; б) (6 а)³; в) (-3 x ²)⁴; г) (-0,5 a ⁴ с ²)².

331. Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його степінь:

a) -2 a ⁴ ba; б) 0,5 b ² × 2 а ³ b; в) -3 x ³ × xy ²;

г) -4 a ² × 7 а ⁵ b × 4 b ³; д) 2,5 xz × (-4 x ³ z ³) × x ² z; е) (3 a ³ b ⁴ c ⁵ d)⁴;

є) ж) з) (-4 m ² n ⁵)³ × (-2 mn ³)².

332. Подайте одночлен 49 a ⁴ b ¹² у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є -7 a ³ b ⁷;

в) квадрата одночлена стандартного вигляду.

333. Знайдіть значення виразу:

а) (3 х ² у)³ × у ³, якщо х = 2; у = 0,5;

б) (a ² bc)² × 5 abc ³, якщо a = b = -4; c =

334*. Спростіть вираз:

а) (a ⁴)^{2 n} × (a ⁴ a^{n + 2})²; б) (-2 y^k)⁸ × (- y ³)⁵;

в) г)

335*. Якою цифрою закінчується число 3⁸¹?

336*. Що більше: 80²⁰ чи 9⁴⁰?

337*. Розв’яжіть рівняння:

а) (2 х)² +(256 х)⁸ = 0; б) (х - 2)² + (х + 2)² = 0; в) х ⁶ + |3 х | = 0.

Завдання для самоперевірки № 3

1 рівень

1. Яка з рівностей є правильною:

а) 3× 3× 3× 3× 3 = 5 × 3; б) 3× 3× 3× 3× 3 = 5³; в) 3× 3× 3× 3× 3 = 3⁵?

2. Вкажіть правильну рівність:

а) 2⁵ = 10; б) 2⁵ = 32; в) 2⁵ = 25; г) 2⁵ = 16.

3. Вкажіть правильну рівність:

а) 2⁴× 2³ = 2¹²; б) 2⁴× 2³ = 4¹²; в) (3²)³ = 6³; г) (3²)³ = 3⁶.

4. Подайте одночлен -3 х ² ух ⁵ у стандартному вигляді:

a) -3 ух ² х ⁵; б) -3 х ¹⁰ у; в) -3 х ⁷ у; г) -3(ху)⁷.

5. Виконайте множення 2 а ² b ³ × 3 a ⁴ і вкажіть правильну відповідь:

а) 6 a ² b ⁷; б) 6 a ⁸ b ³; в) 5 a ⁶ b ³; г) 6 a ⁶ b ³.

2 рівень

1. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою х:

а) х ⁵× х ³; б) х ⁴× х; в) (х ⁵)³; г) (х ⁶)⁴.

2. Обчисліть:

а) 4× 3³ - 4³; б) (2⁵ - 4²)× 5; в) (3² + 1)³.

3. Подайте одночлен у стандартному вигляді:

a) 2 a ⁴ × 3 a; б) -0,3 аb ³ × 5 a ⁴ b ²; в) (2 аc ³)⁴.

4. Знайдіть значення виразу:

а) (2 ху)³, якщо х = 2; у = 0,25; б) (a ² b)² × ab ², якщо a = 2; b = 5.

3 рівень

1. Запишіть вираз у вигляді степеня:

а) (6³× 6⁴)⁵× 6; б) (3⁵× 3)³× (3⁴)⁷; в) 2⁸× 4⁴ × 16².

2. Спростіть вираз:

a) 3,6 x ² у ² × (-5 x ⁴ у ⁵) × (-2 x ² у); б) а ² с ³ × (3 a ² b ⁴ c ³)³;

в) (- m ⁷ n ⁸)⁵ × (-0,2 m ³ n ⁵)⁴; г)

3. Подайте одночлен 64 a ¹² b ¹⁸ у вигляді:

а) добутку трьох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є -4 a ⁵ b ⁸;

в) куба одночлена стандартного вигляду.

4. Знайдіть значення виразу:

а) (а ⁴ с ²)² × с ⁴, якщо а = 4; с = -0,5;

б) 2(x ² yz ³)² × x ² y ², якщо x = y = -2; z =

4 рівень

1. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою 2:

а) б)

2. Знайдіть значення виразу:

а) (8 m ³ n ²)² × n ², якщо m = 20; n = -0,025;

б) якщо а = b = k = 18.

3. Якою цифрою закінчується число 4⁴⁵?

4. Розв’яжіть рівняння:

а) (4 х)⁴ + (-8 х)⁸ = 0; б) х ² + |2 х - 1| = 0.