Вправи для повторення. 166.Кавові зерна при смаженні втрачають 12% своєї маси

166. Кавові зерна при смаженні втрачають 12% своєї маси.

а) Скільки кілограмів смажених зерен вийде із 20 кг свіжих?

б) Скільки кілограмів свіжих зерен слід узяти, щоб отримати 22 кг смажених?

Обчисліть раціональним способом:

167. а) 0,25 × (-11) × 4; б) 9 × 1,25 × (-8); в) -12,5 × 2,5 × (-8) × 4;

г) - × (-25) × ; д) 24 × 8 - 28 × 24; е) 7 × 35 - 26 × 7 + 11 × 7;

є) ж) з)

168. а) 34 × 23 + 3 × 23 - 37 × 33; б) 5,4 × 16 - 22 × 5,4 + 6 × 6,4.

169. Зведіть подібні доданки:

а) 2 х + 6 х - 4 х + х; б) 4 a + 9 b + 2 b - 5 a; в) 3 a - 7 + 5 a - 10 a.

170. Розкрийте дужки:

а) 4(a + 2 b); б) (a + b - c) × 3; в) 5(a - 1) - (b - c).

171. Візьміть у дужки два останніх доданки, поставивши перед дужками знак «+»; знак «–»:

a) 2 х + у - 3; б) а - 3 b + 4; в) m + n - 7- mn.

6. Тотожно рівні вирази. Тотожності

1. Тотожно рівні вирази. Знайдемо значення виразів 5 a - 5 b і 5(a - b), якщо a = 4, b = 2:

5 a - 5 b = 5 × 4- 5 × 2 = 20 - 10 = 10;

5(a - b) = 5 × (4- 2) = 5 × 2 = 10.

Значення цих виразів для даних значень змінних дорівнюють одне
одному (кажуть: якщо a = 4, b = 2, то відповідні значення виразів дорівнюють одне одному). З розподільної властивості множення щодо віднімання випливає, що й для інших значень змінних відповідні значення виразів
5 a - 5 b і 5(a - b) теж дорівнюють одне одному. Такі вирази називають тотожно рівними.

Означення

Два вирази називають тотожно рівними, якщо для будь-яких значень змінних відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному.

Розглянемо тепер вирази 5 a + b і a + 5 b. Якщо a = 1 і b = 1, то відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному:

5 a + b = 5 × 1+ 1 = 6; a + 5 b = 1 + 5 × 1 = 6.

Якщо ж a = 2, b = 1, то відповідні значення цих виразів різні:

5 a + b = 5 × 2+ 1 = 11; a + 5 b = 2 + 5 × 1 = 7.

Отже, значення виразів 5 a + b і a + 5 b для одних значень змінних дорівнюють одне одному, а для інших — ні. Такі вирази не є тотожно рівними.

2. Тотожності. Якщо два тотожно рівні вирази 5 a - 5 b і 5(a - b) сполучити знаком «=», то одержимо рівність 5 a - 5 b = 5(a - b), яка є правильною для будь-яких значень змінних. Таку рівність називають тотожністю.

Означення

Рівність, яка є правильною для всіх значень змінних, називають тотожністю.

Прикладами тотожностей є рівності, які виражають основні властивості додавання і множення чисел:

переставна властивість:	a + b = b + a;	ab = ba;
сполучна властивість:	(a + b) + с = a + (b + c);	(ab) с = a (bc);
розподільна властивість:	a (b + с)= ab + ac.

Тотожностями є також рівності, які виражають правила розкриття дужок:

a + (b + с)= a + b + c,

a - (b + с)= a - b - c,

a - (b - с)= a - b + c.

Тотожностями є й такі рівності:

a - b = a + (- b),	a × (- b)= - ab,	(- a)× (- b)= ab;
a + 0= a,	a + (- a)= 0,	a × 0= 0,	a × 1 = a.

3. Тотожні перетворення виразів. У виразі 4 a + 3 а - 1 зведемо подібні доданки 4 a і 3 а:

4 a + 3 а - 1 = (4 + 3) а - 1 = 7 a - 1.

Вираз 4 a + 3 а - 1 замінили тотожно рівним йому виразом 7 a - 1.

Заміну одного виразу тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетворенням виразу.

У математиці часто доводиться спрощувати вираз, тобто замінювати його тотожно рівним виразом, який має коротший запис або, як кажуть, є «більш компактним». Розглянемо приклади.

Приклад 1.Спростити вираз .

● = = - a + 25. ●

Приклад 2.Спростити вираз а + (2 а - 3 b) - (2 - 4 b).

● а + (2 а - 3 b) - (2 - 4 b) = а + 2 а - - 2 + = 3 a + b - 2. ●

Підсумок.

Тотожні перетворення використовують і для доведення тотожностей. Щоб довести тотожність, можна використати один з таких способів: 1) ліву частину тотожності шляхом тотожних перетворень звести до правої частини; 2) праву частину звести до лівої частини; 3) обидві частини звести до однакового виразу; 4) утворити різницю лівої та правої частин і довести, що вона дорівнює нулю.

Розглянемо приклади.

Приклад 3.Довести тотожність а - 3 - (4 а + 7) = -3 а - 10.

● Перетворюватимемо ліву частину рівності:

а - 3 - (4 а + 7) = а - 3 - 4 а - 7 = -3 а - 10.

Шляхом тотожних перетворень ліву частину рівності звели до правої частини. Тому ця рівність є тотожністю. ●

Приклад 4.Довести тотожність 15 = (27 - 5 а) - (12 - 3 а - 2 а).

● Перетворюватимемо праву частину рівності:

(27 - 5 а) - (12 - 3 а - 2 а) = 27 - 5 а - 12 + 3 а + 2 а = 15.

Шляхом тотожних перетворень праву частину рівності звели до лівої частини. Тому ця рівність є тотожністю. ●

Приклад 5.Довести тотожність 2 с + 3 - 2(3 - 2 с) = 3(2 с - 3) + 6.

● Перетворюватимемо ліву і праву частини рівності:

2 с + 3 - 2(3 - 2 с) = 2 с + 3 - 6 + 4 с = 6 с - 3;

3(2 с - 3) + 6 = 6 с - 9 + 6 = 6 с - 3.

Шляхом тотожних перетворень ліву і праву частини рівності звели до одного й того ж виразу 6 с - 3. Тому ця рівність є тотожністю. ●

Приклад 6.Довести тотожність 3 х - 2(2 х - 3 у) = 2 х + 3(2 у - х).

● Утворимо різницю лівої та правої частин і спростимо її:

3 х - 2(2 х - 3 у) - (2 х + 3(2 у - х)) = 3 х - 2(2 х - 3 у) - 2 х – 3(2 у - х) =

= = 0.

Різниця лівої і правої частин рівності дорівнює нулю, тому дана рівність є тотожністю. ●

Усно

172. Чи є тотожно рівними вирази:

а) 5 + 6 х і 6 х + 5; б) а × 5 b і 5 ab; в) а - b і b - a?

Відповіді обґрунтуйте.

173. Чи є тотожністю рівність:

а) аb + 2 = 2 + ab; б) а - 1 = -1 + а; в) 2(а - 3) = 2 а - 3?

Відповіді обґрунтуйте.

174. Назвіть кілька виразів, які тотожно рівні виразу х + 4 х.

175. Поясніть, на основі яких правил та яких властивостей дій здійснено такі тотожні перетворення:

-2 b - (а - 3 b) + 5 a = -2 b - а + 3 b + 5 a = -2 b + 3 b - а + 5 a =

=(-2 + 3) × b + (-1 + 5) × a = b + 4 а.

176. Спростіть вираз:

а) -7 + 4 а - 3 а; б) 4 а × 5 b; в) 5 х + (2 - х).

Рівень А

Зведіть подібні доданки:

177. а) 7 а - 3 а + 6; б) -4 + 3 z - 8 z;
в) 4 b - 7 + 9; г) 6,5 b - 7 a + 5 a;
д) –7,2 x + 8 y - 5 x - 5 y; е) 2 y - 3 x - 2,5 y + y; є) m - 3 n + 1,6 n + 2 n.

178. а) 5 а - 6 + 3 a; б) -3 b + 4 b - 2 b; в) 2 c - 1 + 6 c - 6;

г) 1,5 a - 2,5 b + 3,5 a; д) –2 x + 3 y - 6 x - 5 y; е) 3 b - a + 0,6 a + 1,2 a.

Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

179. а) 5(8 a + 9) + (4 a - 5); б) 2(5 b - 3 a) - (1,5 b - 2 a);

в) -4(1,2 x + 1,5 y) + 4(1,2 х + 1); г) 2(2 х - 4 y) -3(2 х + 5 y + 2).

180. а) 3(4 х – 2 z) - (5 z + 10 x); б) –3(3 a + 1) - 5(a – 3 b).

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

181. а) 0,7(a - 10) + a - 5, якщо а = 3;

б) -2,5 b - (11 - 1,5 b) + b, якщо b = 0,2;

в) 2 x - 3(1 - y) + 4 y, якщо x = -2; y = 5.

182. а) 6 + 3(2 a - 4) – 8 a, якщо а = –1;

б) 3(a + 6) - (a – 3 b) - 4 b, якщо а = 3, b = -3.

Доведіть тотожність:

183. а) (a + b) - (a - b) = 2 b; б) 2 b × (-4) + 8 b - 4 = -4;

в) 2 х - 1 - 5(1 - 2 х) = 12 х – 6; г) 2(3 а - 4) + 14 - 6 а = 6;

д) a - (4 а - 3 b) = 3(b - a); е) 2 с = 12 с – 5(2 с + 3) + 15.

184. а) 2 b + 2(1 - b) = 2; б) 2 a - (1 + 2 a) + 1 = 0;

в) 3 а - 6(3 - 2 а) = 3(5 а - 6); г) 2 х - 6 = - х - (7 - 3 х) + 1.

185. Ширина прямокутника дорівнює а см, а довжина на 3 см більша від ширини. Запишіть у вигляді виразу периметр прямокутника.

186.Довжина прямокутника дорівнює b см, а ширина на 5 см менша від довжини. Запишіть у вигляді виразу площу прямокутника.

187. На одній полиці стоїть n книжок, а на іншій ¾ у 1,5 разу більше. Скільки книжок на обох полицях?

188.На одній полиці стоїть k книжок, а на іншій ¾ на 12 книжок менше. Скільки книжок на обох полицях?

189. Один робітник виготовляє за годину с деталей, а інший ¾ на 2 деталі менше. Запишіть у вигляді виразу кількість деталей, які виготовлять за 8 год обидва робітники.

Рівень Б

Запишіть у вигляді тотожності твердження:

190. а) Сума числа і протилежного йому числа дорівнює нулю;

б) сума числа а й числа, протилежного числу b, дорівнює різниці чисел а та b;

в) квадрат числа дорівнює квадрату модуля цього числа.

191. а) Добуток довільного числа і нуля дорівнює нулю;

б) добуток двох чисел дорівнює добутку протилежних їм чисел;

в) квадрат числа дорівнює квадрату протилежного йому числа.

Спростіть вираз:

192. а) 2(3 с + 5) + 4(3 + 5 с) + 4 + 2 с; б) 0,2(х - 1) - 0,4(5 - 2 х) – 2,3;

в) -(4 х + y + 3 z) + 3 y - 2(х - 3 z); г) (2 a - 7 b) - (3 b + a) + 2 a;

д) 4(2(х + 2) - 4 х) + 2(х + 1); е) 5(m + 3(n - 1) - 1) - 5 m.

193. а) -(3 a - 6) + 3(2 - 2 a) + 15 a; б) 0,9(a - 3 b) - 0,2(5 b - 3 a) - 1,7 b;

в) 4(5 n - 2(n - 1)) + 10; г) + (2(х - y) - 4 x) + х.

Доведіть тотожність:

194. а) 2(a + b + c) - (a + b - c) - (a - b + c) = 2(b + c);

б) 28 + 2(2(2(b - 2) - 2) - 2) = 8 b.

195. а) 2(a - b - 1) - (a + b - 1) - (a - b + 1) = -2(b + 1);

б) 1 - x - (1 - (1 - (1 - x))) = 0.

Розв’яжіть рівняння:

196. а) 2(3 х –1) – 3(2 – х) = 1; б) 0,2(у - 2(у – 1) + 5) – 2 у + 3 = 0.

197. а) –3(1 – у) + 3(1 – 2 у) = 9; б) 2((х - 2) – 2(х – 1)) + 4 х = 1.

198. Перший лижник пробіг а м, другий ¾ на b м менше, ніж перший, а третій ¾ 1200 м. На скільки метрів менше пробіг другий лижник, ніж перший і третій разом? Запишіть результат у вигляді виразу.

199. На першій полиці є х книжок, а на другій ¾ удвічі більше, ніж на першій. З першої полиці забрали 10 книжок, а на другу поставили 3 книжки. Якою стала загальна кількість книжок на полицях? Запишіть результат у вигляді виразу.

Рівень В

200. Нехай m і n ¾ деякі натуральні числа. Доведіть, що:

а) різниця чисел 11 m + 3 n і 7 m + 7 n ділиться на 4;

б) сума чисел 10 m + 3 n + 2 і 2 m - 7 n + 6 ділиться на 4.

201. Доведіть, що сума трьох послідовних цілих чисел ділиться на 3.

202. Доведіть, щосума чотирьох послідовних цілих чисел не ділиться на 4.

203. Доведіть, що коли два цілі числа при діленні на 4 дають в остачі 2, то сума і різниця цих чисел діляться на 4.

204. Двоцифрове число, яке має а десятків і b одиниць, позначають через . Отже, = 10 а + b. Доведіть, що сума ділиться на 11.

205. Доведіть, що різниця числа і суми його цифр ділиться на 9.

206. Доведіть, що коли два цілі числа при діленні на 3 дають рівні остачі, то різниця цих чисел ділиться на 3.