Пример 1. Различение гипотез о среднем нормальной совокупности

На вход канала связи подается сигнал S, который может принимать два значения: S = 0 (сигнала нет), S = а ¹0 (сигнал есть).

В канале действует аддитивная случайная ошибка e, нормально распределенная со средним М e = 0 и дисперсией D e = s ²; результатом является х^¢= S + e. Измерения повторяются n раз, так что на выходе имеются наблюдения (х ₁ ,..., х_n)º х, по которым нужно решить, есть ли сигнал (H ₁: S = a) или нет (H ₀: S = 0). Требуется построить решающее правило d, имеющее заданную вероятность a₀ ошибки первого рода (вероятность ложной тревоги)

aº Р (принять Н ₁½ Н ₀) = a₀

при минимальном значении вероятности b ошибки второго рода (вероятности пропуска).

считая ошибки независимыми, с учетом того, есть ли сигнал (Н ₁) или его нет (Н ₀), имеем

р ₁(х) = , р ₀(х) = .

В соответствии с (3), решение о наличии сигнала нужно принять (принять Н ₁), если х попадает в Г₁, где

Г₁= = = .

Итак, если

, (5)

то принимается Н ₁; в противном случае принимается Н ₀. Порог h ₂ определяется из (4):

a(h ₂) = P {пр. Н ₁/ Н ₀} = = a₀.

если верна Н ₀, то распределена нормально со средним 0 и дисперсией n s ², и потому последнее условие принимает вид:

a(h₂) = 1 - Ф = a₀,

откуда

h₂ = s Q (1- a ₀), (6)

где Ф(х) - функция нормального N (0, 1) распределения; Q (1 - a₀) - квантиль порядка (1 - a ₀) этого распределения.

Определим вероятность b ошибки второго рода для процедуры (5) с порогом (6). Если верна Н ₁, то распределена нормально со средним na и дисперсией n s ², и потому

b = P (пр .Н ₀ /H ₁) = P { < h₂ /H ₁} = Ф = Ф(Q - ).

Положим, а = 0.2, s = 1.0 (т.е. ошибка s в 5 раз больше сигнала а), n = 500, a = 10^-2 ; при этом

h₂ = 1 × × 2.33 = 52, b = Ф(2.33 - 0.2 × 22.4) = Ф(-2.14) = 1.6 × 10^-2;

как видим, вероятности ошибок невелики: порядка 10^-2.

Моделирование. Проиллюстрируем этот пример статистически, с помощью пакета. Сгенерируем две выборки объема n = 500 в соответствии с гипотезами Н ₀ и Н ₁. Для обеих выборок построим гистограммы (в диапазоне от -2.5 до 2.5 с 20 интервалами) и убедимся, что “на глаз” различие не заметно. Определим сумму наблюдений по каждой выборке и применим решающее правило (5) с порогом (6). Убедимся, что в обоих случаях решающее правило дает правильное решение. Все действия, необходимые для этого примера, здесь не описываются, поскольку они использовались в предыдущих работах.