Двухфакторный дисперсионный анализ. Изучается влияние, которое оказывают два качественных признака (факторы A и B ) на некоторый количественный результат (отклик )

Изучается влияние, которое оказывают два качественных признака (факторы A и B) на некоторый количественный результат (отклик). Весьма типична ситуация, когда второй фактор (фактор B) является мешающим: он включается в рассмотрение по той причине, что мешает обнаружить и оценить влияние фактора A.

Пусть фактор A имеет k уровней A ₁ ,..., A_k, а фактор B - n уровней B ₁ ,...,B_n. Предполагается, что измеряемая величина x есть результат действия факторов A и B и случайной составляющей e:

Принимается аддитивная и независимая модель действия факторов:

, (10)

причем

, . (11)

Последние два условия всегда можно выполнить смещением величин a_j и b_i и изменением величины c; величины a_j и b_i называются вкладами факторов. Итак, предполагается, что имеется совокупность наблюдений

x_ij=c+a_j+b_i+ e _ij, i= 1 ,..., n; j = 1 ,..., k, (12)

e _ij - независимые, нормально N( 0,s² ) распределенные случайные величины. Наблюдения можно представить таблицей 2 (в данном случае - простейшей, поскольку каждому сочетанию (A_j, B_i) уровней факторов, т.е. одной клетке таблицы, соответствует одно наблюдение; в общем случае нескольких наблюдений при анализе возникают несущественные усложнения.

Таблица 2 исходных данных.

Фактор B	Фактор A A 1 A 2 ... Ak	Средние по строкам (оценки вкладов B)
B 1 B 2 ... Bn	x 1 x 12 ... x 1 k x 21 x 22 ... x 2 k ... xn 1 xn 2 ... xnk	x 1 ·=(c+b 1 )^ x 2 ·=(c+b 2 )^ ... xn·=(c+bn)^
Средние по столбцам (оценки вкладов A)	x· 1 = x· 2 = x·k= (c+a 1 )^ (c+a 2 )^ c+ak)^	x··=c^

В таблице ()^ означает оценку. По имеющимся наблюдениям требуется проверить предположение об отсутствии влияния фактора A (или B) на результат измерения, т.е. проверить гипотезу

H_A: a ₁ = a ₂ =... = a_k = 0 (13)

Основой процедуры проверки гипотезы является сравнение двух статистически независимых оценок дисперсии s². Одна из них, s^2*оценивает дисперсию вне зависимости от того, верна или нет H_A. Другая, s^2**оценивает дисперсию, если H_A верна; если же H_A не верна, то она имеет тенденцию принимать увеличенные значения.

Построение процедуры проверки гипотезы. Оптимальная в классе несмещенных оценок оценка s^2* может быть получена с помощью метода наименьших квадратов. Оценим c, b_i, a_j минимизацией суммы

(14)

при условии , . Оценки

, , (15)

Остаточная сумма квадратов

, (16)

как известно, распределена по закону хи-квадрат (с точностью до множителя s²) с числом степеней r = nk - (n- 1 ) - (k- 1 ) -1 = (n- 1 )(k- 1 ). Оценка

. (17)

Для получения другой оценки, независимой от s ^{2 *} , рассмотрим x_{· 1} ,...,x_·k - k независимых случайных величин, где x_·j распределена по N(c+a_j, s ² /n). Если H_A верна, то эти случайные величины распределены одинаково по N(c_j, s ² /n), и несмещенной оценкой для дисперсии s ² /n является

, .

если обозначить

(18)

- сумму квадратов разностей “между столбцами”, т.е. по уровням фактора A (рассеяние по фактору A), то

, (19)

причем распределена по закону хи-квадрат с (k- 1) степенями свободы; соответственно Q_A ~ s ² c ² _{k - 1}. Если H_A не верна, то, как нетрудно показать, Q_A/ s²имеет нецентральное распределение хи-квадрат с (k -1 ) степенями свободы и параметром нецентральности .

Если гипотеза H_A верна, то отношение

имеет F - распределение Фишера с (k -1 ) и r степенями свободы. Если

F_A ³ F _{1 - a}, (20)

где F _{1 - a} - квантиль этого распределения порядка 1 - a, a - выбранный уровень значимости, то гипотеза H_A отклоняется. Вместо (20) можно использовать эквивалентную процедуру: гипотеза H_A отклоняется, если

P{ F ³ F_A } £ a;(21)

P{ F ³ F_A } - вероятность при справедливости H_A получить значение F_A или большее; F - случайная величина, имеющая распределение Фишера.