![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Изучается влияние, которое оказывают два качественных признака (факторы A и B) на некоторый количественный результат (отклик). Весьма типична ситуация, когда второй фактор (фактор B) является мешающим: он включается в рассмотрение по той причине, что мешает обнаружить и оценить влияние фактора A.
Пусть фактор A имеет k уровней A 1 ,..., Ak, а фактор B - n уровней B 1 ,...,Bn. Предполагается, что измеряемая величина x есть результат действия факторов A и B и случайной составляющей e:
Принимается аддитивная и независимая модель действия факторов:
, (10)
причем
,
. (11)
Последние два условия всегда можно выполнить смещением величин aj и bi и изменением величины c; величины aj и bi называются вкладами факторов. Итак, предполагается, что имеется совокупность наблюдений
xij=c+aj+bi+ e ij, i= 1 ,..., n; j = 1 ,..., k, (12)
e ij - независимые, нормально N( 0,s2 ) распределенные случайные величины. Наблюдения можно представить таблицей 2 (в данном случае - простейшей, поскольку каждому сочетанию (Aj, Bi) уровней факторов, т.е. одной клетке таблицы, соответствует одно наблюдение; в общем случае нескольких наблюдений при анализе возникают несущественные усложнения.
Таблица 2 исходных данных.
Фактор B | Фактор A A 1 A 2 ... Ak | Средние по строкам (оценки вкладов B) |
B 1 B 2 ... Bn | x 1 x 12 ... x 1 k x 21 x 22 ... x 2 k ... xn 1 xn 2 ... xnk | x 1 ·=(c+b 1 )^ x 2 ·=(c+b 2 )^ ... xn·=(c+bn)^ |
Средние по столбцам (оценки вкладов A) | x· 1 = x· 2 = x·k= (c+a 1 )^ (c+a 2 )^ c+ak)^ | x··=c^ |
В таблице ()^ означает оценку. По имеющимся наблюдениям требуется проверить предположение об отсутствии влияния фактора A (или B) на результат измерения, т.е. проверить гипотезу
HA: a 1 = a 2 =... = ak = 0 (13)
Основой процедуры проверки гипотезы является сравнение двух статистически независимых оценок дисперсии s2. Одна из них, s2*оценивает дисперсию вне зависимости от того, верна или нет HA. Другая, s2**оценивает дисперсию, если HA верна; если же HA не верна, то она имеет тенденцию принимать увеличенные значения.
Построение процедуры проверки гипотезы. Оптимальная в классе несмещенных оценок оценка s2* может быть получена с помощью метода наименьших квадратов. Оценим c, bi, aj минимизацией суммы
(14)
при условии ,
. Оценки
,
,
(15)
Остаточная сумма квадратов
, (16)
как известно, распределена по закону хи-квадрат (с точностью до множителя s2) с числом степеней r = nk - (n- 1 ) - (k- 1 ) -1 = (n- 1 )(k- 1 ). Оценка
. (17)
Для получения другой оценки, независимой от s 2 * , рассмотрим x· 1 ,...,x·k - k независимых случайных величин, где x·j распределена по N(c+aj, s 2 /n). Если HA верна, то эти случайные величины распределены одинаково по N(cj, s 2 /n), и несмещенной оценкой для дисперсии s 2 /n является
,
.
если обозначить
(18)
- сумму квадратов разностей “между столбцами”, т.е. по уровням фактора A (рассеяние по фактору A), то
, (19)
причем распределена по закону хи-квадрат с (k- 1) степенями свободы; соответственно QA ~ s 2 c 2 k - 1. Если HA не верна, то, как нетрудно показать, QA/ s2имеет нецентральное распределение хи-квадрат с (k -1 ) степенями свободы и параметром нецентральности
.
Если гипотеза HA верна, то отношение
имеет F - распределение Фишера с (k -1 ) и r степенями свободы. Если
FA ³ F 1 - a, (20)
где F 1 - a - квантиль этого распределения порядка 1 - a, a - выбранный уровень значимости, то гипотеза HA отклоняется. Вместо (20) можно использовать эквивалентную процедуру: гипотеза HA отклоняется, если
P{ F ³ FA } £ a;(21)
P{ F ³ FA } - вероятность при справедливости HA получить значение FA или большее; F - случайная величина, имеющая распределение Фишера.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 295 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!