Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Двухфакторный дисперсионный анализ. Изучается влияние, которое оказывают два качественных признака (факторы A и B ) на некоторый количественный результат (отклик )



Изучается влияние, которое оказывают два качественных признака (факторы A и B) на некоторый количественный результат (отклик). Весьма типична ситуация, когда второй фактор (фактор B) является мешающим: он включается в рассмотрение по той причине, что мешает обнаружить и оценить влияние фактора A.

Пусть фактор A имеет k уровней A 1 ,..., Ak, а фактор B - n уровней B 1 ,...,Bn. Предполагается, что измеряемая величина x есть результат действия факторов A и B и случайной составляющей e:

Принимается аддитивная и независимая модель действия факторов:

, (10)

причем

, . (11)

Последние два условия всегда можно выполнить смещением величин aj и bi и изменением величины c; величины aj и bi называются вкладами факторов. Итак, предполагается, что имеется совокупность наблюдений

xij=c+aj+bi+ e ij, i= 1 ,..., n; j = 1 ,..., k, (12)

e ij - независимые, нормально N( 0,s2 ) распределенные случайные величины. Наблюдения можно представить таблицей 2 (в данном случае - простейшей, поскольку каждому сочетанию (Aj, Bi) уровней факторов, т.е. одной клетке таблицы, соответствует одно наблюдение; в общем случае нескольких наблюдений при анализе возникают несущественные усложнения.

Таблица 2 исходных данных.

Фактор B Фактор A A 1 A 2 ... Ak Средние по строкам (оценки вкладов B)
B 1 B 2 ... Bn x 1 x 12 ... x 1 k x 21 x 22 ... x 2 k ... xn 1 xn 2 ... xnk x 1 ·=(c+b 1 )^ x 2 ·=(c+b 2 )^ ... xn·=(c+bn)^
Средние по столбцам (оценки вкладов A) x· 1 = x· 2 = x·k= (c+a 1 )^ (c+a 2 )^ c+ak)^ x··=c^

В таблице ()^ означает оценку. По имеющимся наблюдениям требуется проверить предположение об отсутствии влияния фактора A (или B) на результат измерения, т.е. проверить гипотезу

HA: a 1 = a 2 =... = ak = 0 (13)

Основой процедуры проверки гипотезы является сравнение двух статистически независимых оценок дисперсии s2. Одна из них, s2*оценивает дисперсию вне зависимости от того, верна или нет HA. Другая, s2**оценивает дисперсию, если HA верна; если же HA не верна, то она имеет тенденцию принимать увеличенные значения.

Построение процедуры проверки гипотезы. Оптимальная в классе несмещенных оценок оценка s2* может быть получена с помощью метода наименьших квадратов. Оценим c, bi, aj минимизацией суммы

(14)

при условии , . Оценки

, , (15)

Остаточная сумма квадратов

, (16)

как известно, распределена по закону хи-квадрат (с точностью до множителя s2) с числом степеней r = nk - (n- 1 ) - (k- 1 ) -1 = (n- 1 )(k- 1 ). Оценка

. (17)

Для получения другой оценки, независимой от s 2 * , рассмотрим x· 1 ,...,x·k - k независимых случайных величин, где x·j распределена по N(c+aj, s 2 /n). Если HA верна, то эти случайные величины распределены одинаково по N(cj, s 2 /n), и несмещенной оценкой для дисперсии s 2 /n является

, .

если обозначить

(18)

- сумму квадратов разностей “между столбцами”, т.е. по уровням фактора A (рассеяние по фактору A), то

, (19)

причем распределена по закону хи-квадрат с (k- 1) степенями свободы; соответственно QA ~ s 2 c 2 k - 1. Если HA не верна, то, как нетрудно показать, QA/ s2имеет нецентральное распределение хи-квадрат с (k -1 ) степенями свободы и параметром нецентральности .

Если гипотеза HA верна, то отношение

имеет F - распределение Фишера с (k -1 ) и r степенями свободы. Если

FA ³ F 1 - a, (20)

где F 1 - a - квантиль этого распределения порядка 1 - a, a - выбранный уровень значимости, то гипотеза HA отклоняется. Вместо (20) можно использовать эквивалентную процедуру: гипотеза HA отклоняется, если

P{ F ³ FA } £ a;(21)

P{ F ³ FA } - вероятность при справедливости HA получить значение FA или большее; F - случайная величина, имеющая распределение Фишера.





Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 296 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...