Теоретическое сравнение оценок

Все три оценки несмещённые, что можно проверить методами теории вероятностей. определим дисперсии оценок:

Dâ₁ = D() = ,

Dâ₂ = D( max x_i) = ,

Dâ₃ = D(x_(k) + x_(k+1))» ,

откуда ясно, что â ₂ — наиболее точная оценка, а â ₃ — наименее. Поясним приведенные формулы для дисперсий.

Первая:

Dâ₁ = = = = .

Вторая. определим функцию распределения статистики max x_i :

F(z) º P {max x_i < z } = P { x₁ < z,..., x_n < z } = = ;

плотность распределения

p(z) = F¢(z) = , zÎ [0, a ].

Далее

Mâ ₂ = M( max x_i) = = ,

Mâ₂² = M = ,

Dâ₂ = Mâ₂² — (Mâ₂)²=

Третья. используем теорему Крамера, согласно которой выборочная p - квантиль имеет дисперсию, равную приближенно , где x_p — истинная p -квантиль, f(x) - плотность распределения наблюдений выборки. В нашем случае (при n = 2k) статистика

0 .5 (x_(k) +x _(k+1) ) º m

является выборочной медианой (p = 0.5), f(x_0.5) = 1/a, â₃ = 2m, и потому

Dâ₃=Dm = = .