и одно­стороннего предела)

Следующие утверждения эквивалентны:

1) существует

2) существует и .

1) 2). Пусть , то есть

.

Обозначим , если

, то либо .

.

.

2) 1). Возьмем , тогда

.

БИЛЕТ 18. Первый замечательный предел.

Для доказательства возьмем вектор

окружности радиуса 1 с центральным углом,

равным (радиан), и проведем

. Тогда пл. < пл. сект.

< пл. или .

Разделив все части этого неравенства на

> 0, получим

или . Это

неравенство, доказанное для любых из

интервала (0; ), верно для любого из

интервала (- ; ) в силу четности функций,

входящих в это неравенство.

Докажем, что

() при

А раз и , то .

Кроме того: = 1

БИЛЕТ 19. Второй замечательный предел.

.

На первый взгляд кажется, что при

имеет пределом единицу (так как 1+

при имеет пределом единицу, а единица

в любой степени есть единица). Но в степень

возводится 1+ , а не единица. И вот из-за

этой бесконечно малой добавки предел не равен

единице. Чтобы приблизительно представить себе

поведение функции при малых

приведем таблицу значений этой функции:

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция

увеличивается. Оказывается, что это имеет место для

всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

Доказательство:

Рассмотрим этот предел, как предел функции

натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

=

=

Вычислим . Рассмотрим

= = .

По определению Гейне рассмотрим .

*

То есть = = = .

Также = = =

=

1

БИЛЕТ 20. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

Определение: бесконечно малая функция при , если .

Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:

1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .

2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .

( = (), ), если .

4). имеет -й порядок малости относительно при , если .

5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .

Примеры:

1). при .

2). (, -бесконечные малости одного порядка).

3). ( )

1 0

4). …

()- 2-й порядок малости относительно при .

5).

- произвольная.

БИЛЕТ 21. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности.

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть , -бесконечно малые функции при .

- . Тогда ~ при .

Доказательства:

(). Пусть ~ , , то есть .

=0,

то есть .

(). ., .

=1.

БИЛЕТ 22. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене на эквива­лентные.

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

= * * = .

1 1

БИЛЕТ 23. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства не­прерывных функций.

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Свойства непрерывных функций:

Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .

Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда

. .

Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:

1). непрерывна в точке .

2). непрерывно в точке .

3). Если , то непрерывно в точке .

БИЛЕТ 24. Непрерывность сложной функции.

Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство:

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

БИЛЕТ 25. Классификация разрывов. Примеры.

Определение: -точка разрыва функции , если в точке функция не является непрерывной.

Определение: точка -точка устранимого разрыва функции , если существует , но неопределена в точке , либо .

Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:

- непрерывна в точке .

Пример: .

, - точка устранимого разрыва .

Если не существует, то -точка неустранимого

разрыва .

Определение: Пусть точка -точка неустранимого разрыва функции , тогда:

1) если существует , то .

2) если , то -точка разрыва функции 1-го рода.

3) если , то -точка разрыва функции 2-го рода.

Примеры:

1). .

,

- точка разрыва 1-го рода.

2). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3).

,

- точка разрыва 2-го рода.

4).

не существует точка - точка разрыва 2-го рода.

, . Точка - точка разрыва 2-го рода.

БИЛЕТ 26. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

.

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0 .

2) < 0 , .

3) > 0 , и так далее.

.

.

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

.

.

0 ()

.

.

0 ()

Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):

Пусть определена на и , , ,

Тогда : .

Пусть для ограничения .

Рассмотрим произвольн. :

непрерывна на .

Из этих двух утверждений следует:

, то есть .

БИЛЕТ 27. Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на .

Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

.

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Замечание: Замкнутость по существу. , , но

Не является ограниченной на .

БИЛЕТ 28. Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.

Доказательство:

По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .

(< )- верхняя граница. , то есть .

Противоречие.

Следствие: если , то .

КОММЕНТАРИЙ:

Опечаток вроде бы не замечено. Но если встретится запись предела при , то следует понимать это как (не так-то просто (даже в здравом уме) попасть по клавише «X», вместо «Z»).