![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Доказательство.
Рассмотрим ,
,
ограничено сверху, так как любое
является верхней границей множества
в силу вложенности отрезков.
. Тогда:
а) - верхняя граница
, то есть
.
б) - наименьшая из всех границ, то есть
.
.
Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.
.
(] ] ] ]
0 1/3 1/2 1
БИЛЕТ 4. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Определение: функцию называют числовой последовательностью.
- члены числовой последовательности.
- номер члена числовой последовательности.
или
,
=
,
-общий член.
Определение: Число называется пределом последовательности
(пишут
), если для любого положительного числа
(
>0) можно указать такое число
, зависящее от
, что
для всех
.
Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.
Доказательство:
Пусть ,
,
.
Для определенности имеем:
.
<
<
<
.
<
.
![]() |
Противоречие.
Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.
- сходящаяся
:
.
Возьмем =1
.
Обозначим , тогда
, тогда
Отсюда для обоих случаев
Замечание: обратное не верно.
БИЛЕТ 5. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.
Теорема: (о предельном переходе в неравенство):
Пусть ,
.
. Тогда
.
Замечание:
![]() | ![]() |
.
Доказательство (от противного):
Пусть .
Возьмем .
Обозначим
.
- противоречие.
Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что
.
.
=
,
=
,
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 325 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!