Доказательство: (метод деления пополам)

I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная

.

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезке содержится бесконечное

2) число элементов .

Тогда , .

3) В противном случае , ,

4) -содержит бесконечное число

5) элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

1.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .

II). Выбор подпоследовательности

По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :

Докажем, что .

0 ().

.

БИЛЕТ 13. Критерий Коши сходимости

последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая

последовательность сходится тогда и только

тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>),

условие достаточности (<=), критерий- условие

необходимости и достаточности (<=>).

1) Необходимость: (=>).Пусть .

Возьмем произвольный Тогда

.

. Обозначим ,

тогда

.

фундаментальна.

2) Достаточность: (<=).

1. фундаментальна => ограниченная

.

Возьмем , , тогда

.

Обозначим .

.

ограничена.

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся.

Обозначим

3. Докажем, что

Возьмем произвольный . фундаментальная

=> .

Обозначим и выберем

1) k>K

2)

Тогда .

.

То есть

БИЛЕТ 14. Два определения предела

функции. Эквивалентность определений.

Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.

Определение 1 (Гейне): , если ,

,

Замечание:

Определение 2 (Коши): , если

.

.

Замечание: , то есть .

Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем .

.

Возьмем произвольную = =>

.

Обозначим . Тогда

0< .

Т.обр.

., то есть

БИЛЕТ 15. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.

Теорема: Пусть и ,

тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда

, :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и

. Тогда

Возьмем произвольный ,

, , причем

.

(по теореме о предельном переходе в

неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует .

Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля): Пусть

, : .

Доказательство:

.

Возьмем , тогда

, ,

.

БИЛЕТ 16. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = ( - постоянная).

3). * .

4). ,

если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и

в точке , положив = и =

(это изменение функций не влияет на их пределы).

В точке будут непрерывны функции ,

, , (так как

= . Поэтому в силу равенства

= получим:

1). = .

2). = =

3). = * .

4). = .

БИЛЕТ 17. Разные виды пределов функций.

Связь предела функции в точке и одно­сторонних пределов.

Определение: бесконечно большая при

(), если

.

, если

.

(если же , то ).

Определение: пределы на бесконечности:

, если

.

Если ( то (

Если то