![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
I). Проведем построение системы отрезков.
ограниченная
.
Рассмотрим точку - середину отрезка
.
1) В отрезке содержится бесконечное
2) число элементов .
Тогда ,
.
3) В противном случае ,
,
4) -содержит бесконечное число
5) элементов .
Рассмотрим точку - середину
и так далее.
1.
2. в
содержится бесконечное число элементов
.
3. .
II). Выбор подпоследовательности
По лемме о вложенных отрезках:
1) произвольный элемент из
2) элемент из
:
………………………………………………….
k) элемент из
:
Докажем, что .
![]() |
0 ().
.
БИЛЕТ 13. Критерий Коши сходимости
последовательности.
Теорема (критерий Коши): Числовая
последовательность сходится тогда и только
тогда, когда она фундаментальна.
Замечание: Условие необходимости (=>),
условие достаточности (<=), критерий- условие
необходимости и достаточности (<=>).
1) Необходимость: (=>).Пусть .
Возьмем произвольный Тогда
.
. Обозначим
,
тогда
.
фундаментальна.
2) Достаточность: (<=).
1. фундаментальна =>
ограниченная
.
Возьмем ,
, тогда
.
Обозначим .
.
ограничена.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
ограниченная =>
- сходящаяся.
Обозначим
3. Докажем, что
Возьмем произвольный .
фундаментальная
=>
.
Обозначим и выберем
1) k>K
2)
Тогда .
.
То есть
БИЛЕТ 14. Два определения предела
функции. Эквивалентность определений.
Пусть определена в некоторой выколотой
окрестности т.
Определение 1 (Гейне): , если
,
,
Замечание:
Определение 2 (Коши): , если
.
.
Замечание: , то есть
.
Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.
Имеем
.
.
Возьмем произвольную
=
=>
.
Обозначим . Тогда
0< .
Т.обр.
., то есть
БИЛЕТ 15. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
Теорема: Пусть и
,
тогда .
Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда
,
:
.
.
Возьмем Тогда
.
Теорема: Пусть ,
и
. Тогда
Возьмем произвольный ,
,
, причем
.
(по теореме о предельном переходе в
неравенство) .
Теорема: Пусть ,
и
. Тогда существует
.
Возьмем произв. ,
,
, причем
сущ.
.
Теорема (об отделимости от нуля): Пусть
,
:
.
Доказательство:
.
Возьмем , тогда
,
,
.
БИЛЕТ 16. Теорема об арифметике пределов функций.
Теорема: Если существуют и
, то:
1).
.
2). =
(
- постоянная).
3).
*
.
4).
,
если .
Доказательства:
Доопределив по непрерывности функции и
в точке , положив
=
и
=
(это изменение функций не влияет на их пределы).
В точке будут непрерывны функции
,
,
,
(так как
= . Поэтому в силу равенства
=
получим:
1).
=
.
2). =
=
3).
=
*
.
4).
=
.
БИЛЕТ 17. Разные виды пределов функций.
Связь предела функции в точке и односторонних пределов.
Определение: бесконечно большая при
(
), если
.
, если
.
(если же , то
).
Определение: пределы на бесконечности:
, если
.
Если ( то (
Если то
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 310 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!