Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Пусть . Возьмем произвольный .
Аналогично
.
Обозначим .
Тогда .
То есть
Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
, - ограниченная, то есть .
Возьмем произвольный .
- бесконечно малая.
.
Обозначим . Тогда
.
То есть
Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.
БИЛЕТ 7. Теорема об арифметике пределов последовательностей.
Пусть , . Тогда:
1) существует
2) существует
3) если то существует .
Доказательства:
где и - бесконечно малые последовательности.
1)
бесконечно малые.
бесконечно малые.
2) =
бесконечно малая бесконечно малая
бесконечно малая
3) где
- бесконечно малая последовательность.
По условию
-ограниченная.
бесконечно малая.
.
БИЛЕТ 8. Бесконечно большие последовательности.
Определение: бесконечно большая последовательность при (), если . .
Теорема. Пусть , тогда бесконечно большая бесконечно малая.
, .
,
Определение: . ()
БИЛЕТ 9. Монотонные последовательности. Теорема о пределе
монотонной последовательности.
Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая),
если (). Если неравенства строгие, то
последовательности строго возрастающие (убывающие).
Теорема (о пределе монотонной последовательности). Пусть
-монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем
.
Доказательство:
ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней
грани . Докажем, что .
: 1)
2) .
Возьмем произвольный , обозначим из 2).
1)=>
2)=> (монот. возр).
Из этого следует, что , =>
.
Мы доказали достаточное условие числовой сходимости
последовательности (монот. и огр.)
(огр. на б.м.).
БИЛЕТ 10. Число е.
Сложно доказать, что функция при
имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего
его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что
это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула,
определяющая число по традиции называется второй замечательный
предел. . Также число -основание
натуральных логарифмов.
Рассмотрим .
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 355 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!