Арифметика бес­конечно малых последовательностей

Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный .

Аналогично

.

Обозначим .

Тогда .

То есть

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный .

- бесконечно малая.

.

Обозначим . Тогда

.

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

БИЛЕТ 7. Теорема об арифметике пределов последовательностей.

Пусть , . Тогда:

1) существует

2) существует

3) если то существует .

Доказательства:

где и - бесконечно малые последовательности.

1)

бесконечно малые.

бесконечно малые.

2) =

бесконечно малая бесконечно малая

бесконечно малая

3) где

- бесконечно малая последовательность.

По условию

-ограниченная.

бесконечно малая.

.

БИЛЕТ 8. Бесконечно большие последовательности.

Определение: бесконечно большая последовательность при (), если . .

Теорема. Пусть , тогда бесконечно большая бесконечно малая.

, .

,

Определение: . ()

БИЛЕТ 9. Монотонные последовательности. Теорема о пределе

монотонной последо­вательности.

Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая),

если (). Если неравенства строгие, то

последовательности строго возрастающие (убывающие).

Теорема (о пределе монотонной последо­вательности). Пусть

-монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем

.

Доказательство:

ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней

грани . Докажем, что .

: 1)

2) .

Возьмем произвольный , обозначим из 2).

1)=>

2)=> (монот. возр).

Из этого следует, что , =>

.

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости

последовательности (монот. и огр.)

(огр. на б.м.).

БИЛЕТ 10. Число е.

Сложно доказать, что функция при

имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего

его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что

это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула,

определяющая число по традиции называется второй замечательный

предел. . Также число -основание

натуральных логарифмов.

Рассмотрим .