Теоретичні відомості. Системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими називається система вигляду

Системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими називається система вигляду

Розв’язком СЛАР називається сукупність n чисел яка при

підстановці цих чисел замість невідомих кожне з рівнянь перетворить у тотожність.

СЛАР, що не має розв’язків, називається несумісною, що має хоча б один розв’язок – сумісною. СЛАР, що має один розв’язок – сумісно визначеною, що має безліч розв’язків – сумісно невизначеною.

Основні задачі, що виникають при розв’язку СЛАР:

1) визначити, сумісна чи несумісна СЛАР;

2) якщо СЛАР сумісна, визначити, чи є вона визначеною;

3) якщо СЛАР сумісна і визначена, знайти її єдиний розв’язок;

4) якщо СЛАР сумісна і невизначена, знайти її загальні і базисні розв’язки.

Розглянемо чисельний метод розв’язку СЛАР: метод повного виключення невідомих (метод Жордана–Гаусса). Суть методу полягає у тому, що вибравши r- те рівняння (ведуче), а в ньому невідому x_k (ведучу) з коефіцієнтом ( – ведучий елемент), виключаємо невідому x_k з усіх рівнянь, крім ведучого r -го. Для цього r -е рівняння ділимо на ведучий елемент . Потім отримане рівняння множимо на коефіцієнт при ведучій невідомій в інших рівняннях і віднімаємо з цих рівнянь. Потім вибираємо нове ведуче рівняння і нову ведучу невідому й аналогічно виключаємо цю невідому з усіх рівнянь, крім ведучого. Для полегшення перетворень при виключенні невідомої x_k з усіх рівнянь СЛАР, крім ведучого r -го, зручно користуватися наступними правилами:

1. Всі елементи ведучого рівняння діляться на ведучий елемент .

2. Всі елементи ведучого стовпця, крім ведучого, рівні 0; ведучий елемент дорівнює 1;

3. Всі інші елементи перераховуються за правилом прямокутника:

де – відповідно ведучий і перерахований елементи:

Зауваження 1. Якщо в процесі виключення невідомих з'являється рівняння вигляду СЛАР несумісна.

Зауваження 2. Якщо в процесі виключення невідомих з'являється рівняння вигляду то рівняння видаляється із системи.

Зауваження 3. У якості ведучих невідомих і ведучих рівнянь вибираються невідомі і рівняння, що раніше не були ведучими.

Процес послідовного виключення невідомих закінчується формуванням p ведучих рівнянь:

Система сумісна і тут можливі два випадки:

1. р = n – система сумісна і визначена і має єдиний розв’язок

2. p < n – система сумісна і невизначена. Невідомі х ₁, х ₂,..., х_r,…, x_s,…, x_p називаються базисними, а x_{p +1}, x_{p +2},…, x_n називаються вільними.