Матрица СЛАУ с вещественным спектром на нескольких отрезках

Рассмотрим СЛАУ (1) с нормальной невырожденной матрицей , спектральное множество которой локализовано на нескольких непересекающихся вещественных отрезках , причем , если и если ; (т.е. точка сингулярности не входит ни в один из отрезков, а сами отрезки могут располагаться по обе стороны от нее). Применим для решения СЛАУ явный нестационарный метод простой итерации (2), (3) из раздела 2.1. Для матрицы перехода спектральные отрезки есть , где , и .

Аналогичный (1) из 2.1 полиномиальный интерполянт дискретного спектра результирующей матрицы перехода на совокупности всех отрезков представим как произведение многочленов для каждого отрезка

Причем полученный многочлен степени равен произведению многочленов степени , а . Здесь - спектр матрицы перехода , а - спектр результирующей за итераций матрицы перехода, которая связывает погрешность начального приближения и погрешность на - ом шаге, аналогично (4). Общее число итераций по всем отрезкам .

Заменим многочлен на каждом -ом отрезке многочленом Чебышева степени со своей системой корней для этого отрезка. Тогда, аналогично (3), получаем оценку для нормы ошибки

где

Здесь средний асимптотический знаменатель сходимости и и сходимость лучше, чем у МОПИ. Более того, МЧП сходится в случае, когда отрезки расположения спектра находятся по разные стороны от точки сингулярности. В этом случае МОПИ всегда расходится.

2.3.3. Неэрмитовая матрица СЛАУ. Спектр матрицы – один или несколько комплексных отрезков. Метод с комплексным набором чебышевских параметров

Рассмотрим операторное уравнение второго рода

(1)

с линейным непрерывным оператором , действующим в банаховом пространстве. Пусть спектральное множество [1] оператора в (1) локализовано на комплексном отрезке , причем

Применим для решения (1) явный нестационарный метод простой итерации с переменным параметром

(2)

Для спектрального множества результирующего оператора перехода от начального приближения к вектору решения на -ой итерации, который является результатом суперпозиции операций линейного сдвига спектра оператора , получаем

(3)

Пусть спектр-отрезок задается вектором в центр отрезка и вектором , длина которого составляет половину отрезка, и который составляет угол с вектором . Отсчет угла от вектора удобен, как будет показано далее, для выражения знаменателя сходимости процесса итераций (2). То есть точки отрезка имеют комплексные координаты

, (4)

Выберем для параметров в (2) комплексные значения чебышевских узлов на отрезке

(5)

Здесь -обычная система чебышевских параметров для вещественного отрезка . Для оптимальной сходимости (2) необходимо обеспечить минимальный по системе узлов спектральный радиус результирующего оператора, то есть найти . C учётом (3)-(5)

(6)

Многочлен , с системой корней в случае, если - вещественные корни многочлена Чебышева из (4), есть особым образом нормированный многочлен Чебышева, такой что . Для него наступает минимум чебышевской нормы по системе узлов и, таким образом, минимум спектрального радиуса по этой же системе узлов.

Для того, чтобы оценить значение , найдем значение этой чебышевской нормы многочлена . Выкладки во многом аналогичны тем, что выполнены в вещественном случае [4]. Обозначим

, (7)

Здесь - ранее введенный угол между векторами и . Тогда . Получаем

Здесь - многочлен Чебышева на отрезке и

(8)

В (8) использовано формульное выражение для многочлена Чебышева справедливое для всей комплексной плоскости.

Преобразуем (8). Обозначим . Получаем

(9)

Таким образом, аналогично вещественному случаю [4]

(10)

Выражение (10) показывает, что в случае, если , величина есть асимптотический комплексный знаменатель сходимости процесса итераций: при . Величина явным образом (9) зависит от переменной , то есть от отношения отрезков и угла .

Можно показать, что функция , где из (9) и на всей области определения , кроме луча (рис.14, (а)).

При функция есть четная функция от и монотонно убывает от максимального значения при до минимального при (рис. 14, (б)). Это означает, что процесс итераций (2) с комплексным набором чебышевских параметров (5) асимптотически сходится при любом соотношении отрезков и угле , кроме случая при коллинеарности векторов и , так как в этом случае спектр-отрезок содержит точку сингулярности–точку . Кроме того, важный вывод о том, что при в случае перпендикулярности вектора и вектора , а также при любом другом угле наклона сходимость лучше, чем в случае их коллинеарности. В частности, для вещественных и сходимость хуже, чем для комплексного при том же отношении . Так, рис. 14, (б) иллюстрирует отсутствие сходимости при и и достаточно хорошую сходимость при перпендикулярном расположении вектора . Как следует в этом случае из (9) .

а) б)

Рис.14. Поведение фунции : а) на комплексной плоскости ; б) в сечении

Исследуем поведение функции результирующего знаменателя сходимости (10) , где и из (9), где .

В первом случае функция из (10) в отличие от вещественного случая имеет особенности при в комплексной области . Соответственно, в ближайшей комплексной -окрестности этих особенностей . Однако, как показывают исследования, особенностей нет в области , если есть функция от . Рассмотрим (8) как функцию от и от на комплексной области . На рис. 15 представлено поведение этой функции при значениях и .

а) б)

Рис.15. Знаменатель сходимости как функция от и , (а), (б)

При сходимости нет при . Для остальных углов при имеет место монотонное убывание знаменателя с ростом числа итераций от значения при . Для сходимость начинается с максимального значения знаменателя при . Для фиксированного номера итерации результирующая сходимость улучшается при отклонении угла от .

Исследование функции подтверждает вывод о том, что при и значение модуля и . Особенности для этой функции возникают на луче . Сходимости нет в ближайшей окрестности этого луча для небольших значений . Однако асимптотическая сходимость при имеет место везде, кроме этого луча, о чем свидетельствует исследование функции (рис. 14).

Таким образом, доказана Теорема.

Пусть оператор в (1) имеет спектральное множество, локализованное на комплексном отрезке при условии, что точка сингулярности–точка не лежит на отрезке: .Тогда

1). Метод

(11)

с комплексным набором чебышевских параметров асимптотически сходится и ошибки начального приближения и на й итерации связаны неравенством

, (12)

2). В случае сходимость начинается при , при этом .

Несколько пояснений по Теореме. В вещественном случае слабой сходимости, когда , имеет место обычное преимущество чебышевского итерационного процесса с [4] вместо для оптимальной простой итерации (МОПИ). Для сходимость МКЧП улучшается согласно исследованию функций и в комплексной плоскости.

Для случая быстрой сходимости знаменатель, согласно (9), , . Рассмотрим сравнение асимптотического знаменателя сходимости МКЧП (9) и знаменателя МОПИ в характерных случаях:

1. . , , .

2. . Тогда - методы расходятся, так как точка сингулярности лежит в области спектра-отрезка.

3. . , , , .

4. . Из (9) , , . .

5. . , в методе МКЧП асимптотический знаменатель сходимости существенно меньше ;

6. . , .

То есть, как уже было показано и ранее, для комплексного спектра-отрезка сходимость МКЧП лучше, чем для вещественного спектра-отрезка при таком же отношении длины отрезка к расстоянию до центра от точки 1: и лучше, чем сходимость МОПИ: .