Примеры применения модифицированных методов с ОП для явных и неявных методов простой итерации

Сходимость каждого из рассмотренных методов простой итерации зависит от конкретного вида исходной матрицы, а точнее, от свойств её спектра. Можно привести примеры матриц, для которых сходится только один из рассмотренных методов, однако применение модифицированных методов простой итерации, Зейделя или Якоби с оптимального параметром (ОП) позволяют добиться сходимости в случаях, когда каждый из этих методов по отдельности расходится.

Рассмотрим применение модифицированных методов с ОП на примерах конкретных матричных задач.

Пусть элементы матрицы при следующие: , , , . Cобственные числа матрицы перехода Ричардсона (3) равны , и располагаются по разные стороны от точки на прямой, проходящей через неё. В этом случае точка принадлежит выпуклой оболочке спектра и дробно-линейным преобразованием (12) нельзя добиться сходимости итерационного процесса. Собственные же числа матрицы Якоби (26) равны , (здесь - мнимая единица) и точка находится вне выпуклой оболочки спектра. То же самое можно утверждать и о спектре оператора Зейделя. Однако, непосредственное применение метода Якоби или Зейделя не приведёт к сходящемуся ряду, т.к. и не выполняется (27). Заключая спектр в круг с центром в точке (21) при , то есть приходим к сходящемуся модифицированному методу Якоби с этим параметром. Для метода Зейделя с параметром (метода релаксации) оптимальный параметр (матрица несимметричная, не определенная и тем не менее ОП задается формулой (34), что проверено экспериментально) приводит к сходящемуся процессу с . Решение СЛАУ (1) с правой частью и точностью достигается за итераций вида (32) (см. также рис.7).

Наоборот, если матрица Якоби (оператор Зейделя) имеют спектр, выпуклая оболочка которого содержит т. , то никакие линейные модификации этих методов не приведут к сходящемуся процессу. Применение МОПИ к матрице перехода Ричардсона может привести в этом случае к сходимости. Такова матрица с элементами , , , для которой собственные числа матрицы (3) , а собственные числа матрицы (26) , . Применение методов Якоби и Зейделя и их модификаций дают расходящийся процесс, т.к. точка принадлежит выпуклой оболочке спектра. Применение же МОПИ с матрицей (3) дает быстро сходящийся ряд. Точное решение СЛАУ (1) достигается за или за итераций ряда (11)-(12).

Применение метода с ОП наиболее успешно в том случае, когда спектр оператора в (12) локализован в небольшой окрестности с центром в т. вдали от точки . Тогда применение этого метода с оптимальным параметром является самым удачным среди одношаговых стационарных методов и приводит к быстро сходящемуся ряду простой итерации. В качестве примера рассмотрим СЛАУ с матрицей , , , . Матрица несимметричная, но положительно определенная (доказать!). В этом примере для матриц перехода Ричардсона и Якоби (3) и (26) имеем следующие собственные числа и , . Значение оптимального параметра переводит в данном случае точку , в которой находится весь спектр матрицы , в точку , в которой находится спектр матрицы . Таким образом, скорость сходимости ряда (11) с матрицей (12) в данном случае очень высокая, т.к. . Решение СЛАУ (1) с точностью до достигается за итерации. Решение той же задачи методами Якоби и Зейделя требует гораздо большего количества итераций - и соответственно. Для метода Якоби применение параметра улучшит сходимости сходимость, но не очень существенно (см. рис.3,а), так как значение ОП находится недалеко от точки 0 и для оптимальной окружности приблизительно такой же, как и для окружности с . Использование метода Зейделя с ОП (34) , то есть итераций (32) (см. также рис. 7) приводит к уменьшению требуемого количества итераций - . Интересно, что для несимметричной матрицы ОП находится в области «нижней релаксации», а формула для ОП (34) остается справедливой.

Пусть рассмотренная матрица продолжена на большую трехдиагональную матрицу с и такими же элементами, т.е. на главной диагонали чередуются значения и , а на двух соседних соответственно и . Спектр исходной матрицы существенно трансформируется из точки в протяженную область на комплексной плоскости, но при этом значение оптимального параметра, полученного по формуле (17) с участием минимального и максимального по модулю собственного числа матрицы (3), остается неизменным . Это справедливо для любой трехдиагональной матрицы, полученной таким периодическим продолжением из малой матрицы. Однако это значение все же приближенное в силу того, что матрица не является положительно определенной и другие комплексные собственные числа выходят за пределы круга, натянутого на как на диаметр. Опытным путем для сравнительно малых матриц с значение оптимального параметра можно уточнить до и это значение остается практически неизменным для всех больших матриц такого вида. Для параметров и и точности решения получаем соответственно число требуемых итераций и . Впечатляющий результат для данной задачи приносит метод Зейделя с ОП. Если для обычного метода Зейделя число итераций , то с применением ОП при число требуемых итераций снижается до !

Конечно, задача определения спектра матрицы в общем случае ничем не проще задачи решения СЛАУ прямыми методами. Однако, для ряда матриц приближенное значение ОП для МОПИ (11), (12) находится весьма просто через её коэффициенты. Например, для большой трехдиагональной матрицы с двумя постоянными диагоналями возле главной и с чередующимися значениями и коэффициентов на главной диагонали. Для такой матрицы в (1) значение ОП в (12) равно и, если - положительно определенная матрица, то это значение точное.

Кроме того, для физических и технических задач область локализации спектра оператора часто известна, т.к. она соответствует физически нерегулярным и резонансным решениям. Для задач математической физики в интегральной постановке спектр матрицы несет информацию об операторе (интегральном). Поэтому переход к более мелкой сетке при дискретизации оператора лишь уточняет спектр оператора, но не изменяет его радикально. При этом возможно определение с достаточной для дальнейших расчетов точностью области локализации и ОП спектра для грубой сетки и перенос этих значений на более мелкую расчетную сетку.

Преобразование оператора (12) можно использовать в условиях неполной информации об его спектре. Так, например, если известна в точности только одна граница вещественного спектра. Более определенно, пусть известно, что собственные числа находятся на интервале и значение известно точно, а для известно лишь, что . Т.к. для данного случая , то ряд простой итерации расходится, но в силу того, что можно построить сходящийся ряд. Действительно, принимая , получаем сходящийся ряд простой итерации для оператора , спектр которого лежит на интервале , причем , т.е. . Можно показать также, что в условиях неопределенности данной задачи лучший результат даст .