Факторы, определяющие точность оценки координат целей

Синтез оптимальных измерителей координат целей (ИКЦ) основан на теории статистических решений, так же как и синтез оптимальных обнаружителей. В рамках этой теории синтез ИКЦ возможен при наличии априорных данных о структуре системы и характеристиках стацио­нарных сигналов и помех. Если ИКЦ обладает постоянными параметрами, оптимальными в среднем с учетом всех апри­орных сведений, то очевидно, что в каждом конкретном случае такой измеритель не является наилучшим. Систе­мы, которые непрерывно отыскивают оптимум в соответствии с изменением текущих условий работы, позволяют зна­чительно улучшить основные характеристики ИКЦ в результате изменения своих параметров и носят название адаптивных измерителей координат целей (АдИКЦ).

Физической основой измерения координат является зависимость параметров акустического поля источника от его координат в водной среде. В общем случае давле­ние поля сигнала в раскрыве АА измерителя при за­данных интервалах пространства и интервалах времени можно представить в виде:

, (4.87)

где - пространственная координата поля, связанная с АА измерителя; огибающая сигнала (с учетом мультипликативных помех); фаза огибающей сигнала; - измеряемый параметр;

- принимаемый сигнал; - поле аддитивных помех с заданной ковариационной функцией. Соотношение (4.41) можно представить также в виде:

(4.88)

где - случайный параметр сигнала, отражающий вли­яние мультипликативных помех.

Таким образом, синтез структуры оптимального ИКЦ состоит в отыскании и реализации алгоритма оценки со­ответствующих параметров сигнала. При этом в качестве критерия эффективности оценки используется условие минимума средней квадратической ошибки, а методы получе­ния оценок, описанные ранее, являются основой разра­ботки соответствующих алгоритмов. Учитывая, что при измерении координат источников сигналов оценки по максимуму апостериорной плотности имаксимуму правдоподобия практически совпадают (априор­ная плотность вероятности параметра либо равномерна, либо ее максимум совпадает с оценкой), рассмотрим воз­можность получения оценки в явном виде при помощи ме­тода максимума правдоподобия. Получение такой оценки параметра по наблюдаемой реализации сводится к формированию функции правдопо­добия. При этом в математическом отношении результаты, полученные для оптимизации системы во временной облас­ти, при соответствующей замене переменных будут спра­ведливы и для пространственной области.

Точность оценки параметров сигнала определяется уровнем помех, погрешностью измерителя, зависящей от ошибок измерения неинформативных параметров, а также ошибками оператора, ошибками, связанными с влиянием среды, инструментальными ошибками и ошибками, связан­ными с изменением параметров за время измерений Т (динамическими ошибками). При синтезе оптимальных ИКЦ учитывают лишь влияние помех. Точность измерения пара­метров, обусловленную этим фактором, называют потен­циальной.

Рассмотрим сигнал, зависящий только от одного скалярного параметра на выходе i -го элемента АА, что характерно для дальномерных или угломерных систем. Процесс на входе ИКЦ будет выражаться следую щим образом:

. (4.89)

Представим совокупность значений на отрез­ке [O,Т] в виде вектора где n- число отсчетов по времени и пространству. Toгдa мно­жество всех значений реализаций вектора можно характеризовать плотностью распределения вероятностей:

(4.90)

где - множество всех реализаций вектора при истинном заданном значении параметра .

При заданных значениях функция является функцией и называется функцией правдоподобия.. Оценкой параметра называют величину , измеренную или вычисленную по принятой реализации т.е. , а поскольку является случайным вектором, то и сама оценка является случайной, обладающей соответствующим законом распределения . В соответствии с теорией оценок, являющейся частью теории статистических решений, основными свой­ствами оценок являются несмещенность, состоятельность и эффективность. Очевидно, что оптимальный ИКЦ должен реализовать алгоритм, обеспечивающий эффективную оценку, т.е. оценку, имеющую минимальное среднее квадратическое откло­нение от истинного значения измеряемого параметра:

. (4.91)

Для несмещенных оценок (b=0) нижняя граница ошибок определяется неравенством Крамера-Рао, которая для этого случая имеет вид:

. (4.92)

Минимальная дисперсия ошибки достигается при условии, когда для всех x

(4.93)

Здесь функция правдоподобия для удобства вычисления заменяется ее логарифмом, поскольку очевидна справед­ливость следующего соотношения:

(4.94)

Соотношение (4.94) имеет место, когда функция правдоподобия имеет вид гауссовой кривой:

(4.95)

Из выражения (4.94) можно найти функцию обеспе­чивающую минимальную дисперсию ошибки. Это уравнение должно выполняться при любых и X, поэтому вы-

берем такое , при котором обеспечивается

(4.96)

Тогда, поскольку равенство (4.94) можно представить в виде

(4.97)

где не зависит от , для выполнения равенства (4.94) при любых надо, чтобы . Сле­довательно, функция , определяющая минимальную дисперсию ошибки, может быть найдена из условия (4.97) Оценка, полученная таким способом, называется оценкой максимального правдоподобия (ОМП).

Очевидно, что уравнение (4.97) эквивалентно

(4.98)

а также

(4.99)

где - отношение правдоподобия.

Таким образом, структура оптимального ИКЦ, как это следует из приведенных рассуждений и материала предыдущих глав, должна включать в себя устройство формирования отношения правдоподобия и фильтр оценки.