Фильтр, максимизирующий отношение шумовой сигнал/помеха

Широко встречающейся в гидроакустической практике задачей является обнаружение шумового сигнала на фоне шумовой помехи, когда в качестве преселектора ти­пового тракта обнаружения «преселектор - квадратичный детектор – интегратор» используется фильтр, максимизи­рующий отношение сигнал/помеха на выходе тракта обна­ружения.

Известно, что отношение сигнал/помеха по мощности на выходе такого тракта обнаружения может быть пред­ставлено в спектральной форме вида:

(4.46)

где T - время интегрирования; одно­сторонние спектральные плотности мощности сигнала и помехи на выходе преселектора соответственно.

Очевидно, что спектральные плотности мощности сигнала и помехи F_s(f) и F_n(f) на выходе тракта связаны с и передаточной характеристикой преселектора K(f) следующим образом:

(4.47)

Подставляя (4.47) в (4.46), имеем:

(4.48)

Определим вид передаточной характеристики пресе­лектора при котором достигается максимум вели­чины в выражении (4.48), принимая Т фиксиро­ванным. Для этой цели можно воспользоваться неравенством Шварца-Буняковского вида (4.35), заметив, что ес­ли фазовые соотношения не имеют значения, то функции и можно считать не комплексными, а действительными.

Обозначив

(4.49)

и используя неравенство Шварца-Буняковского, получаем:

. (4.50)

Таким образом, для отношения сигнал/помеха по мощности, определяемого выражением (4.48), получаем неравен­ство:

. (4.51)

Решая уравнение в котором и
определяются выражениями (4.49), относительно передаточной характеристики оптимального фильтра, получаем:

(4.52)

где для удобства принято К =1.

Выражение (4.52) определяет модуль коэффициента передачи оптимального фильтра. Фильтр с такой характе­ристикой в иностранной литературе принято называть фильтром Эккарта [8]. При подстановке (4.52) в левую часть неравенства (4.51) последнее обращается в равен­ство, так что

(4.53)

Это равенство определяет максимальное значение отноше­ния сигнал/помеха по мощности на выходе тракта с опти­мальным фильтром в качестве преселектора. Физическая реализуемость фильтра определяется критерием Пэли-Винера, согласно которому амплитудно-частотная характерис­тика фильтра должна быть интегрируема в квадрате, т.е.

< . (4.54)

Легко убедиться, что этот интеграл для случаев ре­альных гидроакустических спектров сигналов и помех расходится. Отсюда следует, что рассматриваемый опти­мальный фильтр принадлежит к классу нереализуемых фильтров. Это вынуждает также рассматривать субоптимальные фильтры, осуществляющие "выбеливание" спектра помехи. Для этого фильтр (4.52) представлен в виде последова­тельно соединенных фильтров следующим образом:

. (4.55)

Первый из этих фильтров выполняет роль "обелителя" спектра шумовой помехи. Спектр помехи на выходе фильтра с частотной характеристикой приобретает характер отрезка белого шума с равномерным спект­ром мощности в полосе пропускания фильтра. Спектр шу­мового сигнала на выходе первого фильтра становится равным:

(4.56)

Частотная характеристика второго фильтра оказывается, таким образом, совпадающей с формой преобразованного спектра сигнала. Б случае если спектральные плотности мощности сигнала и помехи совпадают, то, как это непо­средственно видно из (4.52), оптимальный фильтр и субоптимальный "выбеливающий" фильтр практически совпада­ют. Отличие оптимального фильтра становится тем замет нее, чем больше различаются по своему виду спектры мощности сигнала и помехи.

Рабочие характеристики приемника. Вероятностные характеристики обнаружения. Качество обнаружи­теля определяется характеристиками, связывающими веро­ятности правильных и ошибочных решений в зависимости от отношения сигнал/помеха. Их налитическое выражение P_п.о= f (u_c/u_п) полностью определяется видом распределения выходного эффекта, следующим из выбранной модели сигнала и помехи (отвечающим конкретным условиям при­менения ГАС), и реализуемым критерием обнаружения. В гидролокационных обнаружителях наиболее часто распределение выходного эффекта описывается гауссовским, реле­евским и обобщенньм релеевским законами. При реализации критерия Неймана-Пирсона рабочие характеристики прием­ника (РХП) описывают зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги при фик­сированном значении отношения сигнал/помеха. Вероятностные характеристики обнаружения (ВХО) описывают зависимость вероятности правильного обнару­жения от отношения сигнал/помеха при фиксированном значении вероятности ложной тревоги. Рассмотрим типовые примеры.

1. Предположим, что помеха и смесь сигнала и по­мехи распределены по нормальному закону:

(4.57)

], (4.58)

где - дисперсия эффекта, соответствующего наличию помехи с дисперсией и сигнала с дисперсией , m_u - математическое ожидание вы­ходного эффекта при наличии полезного сигнала.

Такие распределения вероятностей являются типичными в системах обработки информации с интегрированием на их выходе за время, значительно превышающее интер­вал корреляции помех. Тогда для вероятности ложных тревог будем иметь выражение:

, (4.59)

Решение которого дает Р_л.т =1-F() (4.60)

где F(∙) - известная функция Лапласа,

(4.61)

Из выражения (4.59) определяют пороговое значение сигнала: (4.62)

где функция F^-1(x) является обратной F(x).

Вероятность правильного обнаружения определяется на основании (4.58):

(4.63)

Таким образом аналитическое выражение ВХО имеет вид: =F[ (4.64)

При пользовании таблицами и анализе аналитичес­ких выражений ВX0 следует учитывать, что наряду с функ­цией Лапласа, определяемой выражением (4.61), в лите­ратуре используют также и другие функции:

- интеграл вероятности

(4.65)

который также иногда называют функцией Лапласа;

-функцию вида

Ф( (4.66)

которую иногда называют нормированной функцией Лапла­са;

- функцию вида

)=2F(x (4.67)

которую называют интегралом вероятности, функцией ошибок, функцией Крампа, т.е. erfx=Ф^*(x)

Если, например, при выводе выражения для ВХО воспользоваться функцией, определяемой (), то анало­гично () будем иметь:

= F[ (4.68)

При использовании функции (4.20) получим выражение:

=0,5+F[ (4.69)

2. Предположим, что помеха и смесь сигнала и по­мехи распределены по релеевскому закону:

(4.70)

Этот закон справедлив для структуры тракта обработки, включающего высокочастотный фильтр - линейный детектор интегратор, когда огибающая сигнала флюктуирует по релеевскому закону. По аналогии с предыдущим получим:

(4.71)

Отсюда аналитическое выражение ВХО имеет вид:

(4.72)

Физическая сущность вероятности ложной тревоги состоит в том, что она определяет превышение напряже­нием помехи порогового уровня в течение определенного времени (времени реализации критерия обнаружения). В тракте обработки гидроакустических сигналов это время обратно пропорционально величине полосы пропускания. Если выбросы помехи пересекают пороговый уровень в те­чение времени t_k с интервалом T_k, как показано на Рис. 4.6, то для вероятности ложной тревоги справедли­во выражение:

(4.73)

Допустимый интервал между ложными тревогами - время Т_л.т определяется требованиями потребителя и зависит от назначения ГАС, способа их использования.

Так, напри­мер, среднее за единицу времени число выбросов огибающей нормаль­ного шума, превосходящих уровень u₀, определяется выражением

(4.74)

где коэффициент a зависит от структуры тракта обра­ботки и для идеального полосового фильтра равен .

С учетом (4.71) выражение (4.74) используют также в виде:

(4.75)

При величине > 2-3 выбросы огибающей становятся независимыми, и по величине можно определить средний период между ложными тревогами:

(4.76)

На практике поток ложных тревог полагают пуассоновским и для вероятности получения k выбросов за время наблюдения T_н пользуются выражением:

(4.77)

Для вероятности получения числа тревог, меньшего m, пользуются выражением

(4.78)

Где - среднее число ложных тревог в единицу времени. При k=0

(4.79)

Где T₀ – интерпретируется как среднее время, в течение которого с вероятностью Р(0) не произойдёт ни одной тревоги.

Вероятностные характеристики обнаружения многоканальных систем. Выше были рассмотрены характеристики обнаружения в случае воздействия на приемный тракт только одного сигнала, положение которого по простран­ству, частоте и времени было определенным. В реальных условиях на вход приемного устройства могут поступать сигналы от нескольких целей, положение которых по час­тоте и времени является различным. Кроме того, сигналы обладают неопределенностью положения и по направлению.

Обнаружение сигналов, обладающих неопределеннос­тью положения, осуществляется многоканальными системами. При этом опрос каналов (разрешаемых элементов) осуществляется во времени либо одновременно (в ГАС с веером статически сформированных характеристик направленности), либо последовательно, но за время существова­ния (во избежание пропуска) сигнала. Неопределенность сигнала по пространству и часто­те устраняется обнаружением его в специальных каналах, для которых характерно наличие независимых схем обра­ботки. ВХО таких каналов рассматривались выше. Неопределённость положения сигнала во времени устраняется этими же каналами за счёт выбора времени обзора элементов разрешения.

В современных ГАС процесс обнаружения объекта в подводной среде сопровождается оценкой его координат в трех-, четырехмерном пространстве измерений. Для этой цели все пространство измерений разделяют на элементы разрешения. Для гидролокатора с формированием ДН в горизонтальной плоскости и набором узко­полосных фильтров число таких элементов можно опреде­лить по формуле , где - число пространственных каналов, равное отношению пол­ного азимутального угла к разрешающей способности по азимуту (ширине ДН на уровне 0,7 по давлению); - число частотных каналов, равное отношению общей полосы частот к полосе одного фильтра; - число элементов разрешения по дистанции, равное отношению максимальной дальности, соответству­ющей циклу обзора, к разрешающей способности по дис­танции , эквивалентной длительности сигнала.

Рис. 4.7. Схема элементов разрешения гидролокатора

Таким образом, формула для подсчета числа элементов разрешения имеет вид:

(4.80)

Очевидно, что параметры элементов разрешения определяются диаграммами неопределённости сигналов по измеряемым координатам, описываемым в п.3.4. При расчётах ВХО целей говорят об обнаружении «в точке», понимая под этим элемент разрешения. Полный же цикл обзора состоит в осмотре всех элементов разрешения. Нетрудно показать, что при вероятности ложной тревоги и независимости ложных тревог в различных элементов вероятность ложной тревоги за цикл связана с вероятностью ложных тревог «в точке» соотношением:

(4.81)

При этом предполагается, что Р_л.т. во всех элементах является одинаковой. Если в k-м элементе она равна Р_л.т.к., то имеет место более общее соотношение:

(4.82)

Или при условии, что

(4.83)

На практике поток ложных тревог полагают пуассоновским, и для вероятности того, что за время Т в одной ячейке появится k, k<m, k=0 тревог, пользуются выражениями (4.77-4.78). Для М - канальной системы эти формулы принимают следующий вид:

(4.84)

(4.85)

(4.86)

Эти соотношения позволяют решать целый ряд практических задач. Например, зная структуру тракта обработки и технические параметры каналов, можно по заданной Р_л.т. в элементе разрешения определить вероятность того, что в течение интервала Т ложных тревог будет: k, k<m, ни одной. Или при заданной Р_л.т. можно определить величину интервала Т, в течение которого с вероятностью Р ложных тревог будет k, k<m, ни одной.

4.2. Алгоритмы оценки параметров и реализующие их структуры измерителей координат морских объектов