Байесовский критерий

Согласно критерию Байеса оптимальным является такой обнаружитель, который минимизирует средний риск. Средним риском (R) называется математическое ожидание потерь, связанных с принимаемыми решениями.

Рассматривая потери как дискретную случайную величину, принимающую значения С_ij с вероятностями Р_ij (i,j=0;1), для среднего риска получим:

R_cp = М [C] = q(p₀₀C₀₀ + p₀₁C₀₁) + p (p₁₀C₁₀ + p₁₁C₁₁) (4.5)

где p и q априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала на входе;

С_ij, - потери, которые возникают когда в i- той ситуации принимается j –ое решение, i,j = 0,1 (см. таблицу 4.1).

С учетом (4.3) и (4.4) выражение (4.5) преобразуется к виду:

R_cp = q[(1-p_лт)С₀₀ + p_лтC₀₁] + p [(1-р_по)С₁₀ + p_поC₁₁) ] Окончательно байесовский критерий может быть сформулирован следующим образом:

R_cp = q[(1-p_лт)С₀₀ + p_лтC₀₁] + p [(1-р_по)С₁₀ + p_поC₁₁) ] ® min (4.6)

Критерий идеального наблюдателя

Этот критерий используется тогда, когда в качестве основного требования, предъявляемого к обнаружителю, выступает требование минимизации полной вероятности ошибочных решений.

Полная вероятность ошибки равна:

Р_ош = qР_лт + р(1-Р_по) (4.7)

Критерий идеального наблюдателя записывается в виде:

Р_ош = qР_лт + р(1-Р_по) ® min (4.8)

Заметим, что критерий идеального наблюдателя (4.8) вытекает из байесовского критерия (4.6) при С_оо = С₁₁ = 0 и С_о1 = С_1о = 1, т.е. когда плата за правильные решения равна нулю, а платы за ошибочные решения одинаковы и равны 1.

Критерий Неймана-Пирсона

На практике часто априорные вероятности p и q неизвестны. Кроме того не всегда удается оценить стоимость правильных и ошибочных решений. В этом случае критерий обнаружения формулируется с использованием величин вероятностей ложной тревоги (Р_лт) и правильного обнаружения (Р_по).

Первая из этих величин должна быть минимизирована, вторая - напротив, устремлена к максимуму. Очевидно, что эти требования противоречат друг другу, поэтому при формулировке критерия обнаружения одну из этих величин (Р_лт) фиксируют, а другую (Р_по) - стремятся максимизировать. В этом и состоит сущность критерия Неймана-Пирсона. Формально критерий Неймана-Пирсона записывается в виде:

P_по ® max (4.9)

P_лт = Р_зад

Величина Р_по - называется мощностью критерия, а Р_лт - уровень значимости. Поэтому критерий Неймана-Пирсона является наиболее мощным при заданном уровне значимости.

Правило принятия решения при использовании критерия идеального наблюдателя. Под решающим правилом применительно к задачам обнаружения будем понимать закон, по которому каждой входной выборке x сопоставляется одно из 2-х решений g_о или g₁.При использовании критерия идеального наблюдателя решающее правило должно обеспечить выполнение условия:

Р_ош = qР_лт + р(1-Р_по) ® min (4.10)

Решающее правило в общем виде может быть сформулировано на языке теории множеств. Обозначим: G- множество всех входных выборок x; G_o - множество всех x, для которых принимается решение об отсутствии сигнала (g_о); G₁ - множество всех x, для которых принимается решение о наличии сигнала (g₁). Множество G часто называют пространством наблюдений, а множество {g₀, g₁}, состоящее из двух элементов (решений g₀ и g₁) называют пространством решений. В частности, если x - вещественная выборка объема N, то GÌR^N. На практике величина N составляет 10² - 10⁵.

Поскольку каждой выборке x соответствует свое, вполне определенное решение, то очевидно, что:

G = G₀ÈG₁

G₀ÇG₁ = Æ (4.11)

Таким образом, в терминах теории множеств решающее правило записывается в виде:

g₀ , x Ï G₁

L(x) = (4.12)

g₁ , x Î G₁

Решающее правило (4.12) можно рассматривать как отображение (сюръекцию) множества G на множество {g₀, g₁}. Очевидно, что вероятности Р_лт и Р_по, а следовательно и Р_ош зависят от того, каким образом произведено разбиение пространства наблюдений на два подпространства (подмножества) G₀ и G₁. Установим связь между Р_лт, Р_по и G₀ и G₁.

Рассматривая выборку x как совокупность случайных величин, введем условные плотности вероятности входной выборки, соответствующие случаям отсутствия и наличия сигнала на входе. Обозначим: f_ns(x), f_n(x) - мерная условная плотность вероятности входной выборки при наличии и отсутствии сигнала на входе соответственно.

Будем полагать, что указанные функции являются известными. Тогда:

P_лт = f_n(x)d x = f_n(x₀,x₁,... x_N-1)dx₀dx₁….dx_N-1 (4.13)

P_по = f_ns (x)d x (4.14)

Подставляя (4.13), (4.14) в (4,10) для полной вероятности ошибки получим:

P_ош = qP_лт + р(1-Р_по) = qP_лт - рР_по + р =

= q f_n(x)d x - p f_ns (x)d x ] + p =

= [q f_n(x)d x -p f_ns (x)d x ]d x + p ® min (4.15)

Анализ выражения (4.15) показывает, что для выполнения условия Р_ош ® min необходимо в множество G₁ включить все те выборки x, для которых подынтегральное выражение в (4.15) принимает отрицательное значение. С учетом сказанного, можно область(множество) G₁ определить следующим образом:

G₁ = { x: qf_n(x) -pf_ns(x)< 0} (4.16)

Последнее выражение задает вид множества G₁ путем указания условия, которому должны удовлетворять его элементы. Таким образом множество G₁ состоит из таких элементов x, для которых выполняется условие qf_n(x)-pf_ns(x)< 0.

Выражение (4.16) можно переписать в виде:

(4.17)

Обозначим: = L(x) (4.18)

Величина L(x) называется отношением правдоподобия:

Тогда окончательно решающее правило, реализующее критерий идеального наблюдателя, имеет вид:

(4.19),

где L_o = q/p - порог обнаружения.

Из (4.19) следует важный вывод: Для реализации критерия идеального наблюдателя не требуется определять явный вид области G₁ (критической области, для которой принимается решение g₁). Достаточно по полученной выборке вычислить отношение правдоподобия L(x), сравнить его с порогом L_о и по результату этого сравнения принять одно из двух решений g₀ или g₁.

Обобщенная структура оптимального обнаружителя. Рассматривая критерий идеального наблюдателя мы установили, что данный критерий приводит к следующей процедуре принятия решения:

1. По полученной выборке х вычисляется величина отношения правдоподобия L(х), которая сравнивается с порогом L_о.

2. Если L(x)> L_о , принимается решение о наличии сигнала в противном случае - принимается решение об отсутствии сигнала.

Аналогичным образом можно показать, что к этой же процедуре принятия решения приводят и другие статистические критерии обнаружения. Разница заключается лишь в величине порога, с которым сравнивается отношение правдоподобия. Величины порогов, соответствующие различным критериям, приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

№№ п.п	Критерий обнаружения	Величина порога
1. 2.   3.	Байесовский Идеального наблюдателя   Неймана-Пирсона	q/p × (Co1-Coo)/(C1o-C11) q/p   Lо зависит только от вероятности ложной тревоги и определяется из уравнения Рлт=

Из единой процедуры принятия решения вытекает обобщенная структура обнаружителя, которая имеет вид

L₀

Блок вычисления отношения правдоподобия

ПУ

x L(x) g₁

g₀

Рис. 4.1.

Выбор того или иного критерия обнаружения влияет лишь на величину порога L_о и не изменяет общую структуру обнаружителя.

В общем случае решение о наличии или отсутствии сигнала не обязательно должно приниматься по выборке фиксированного объема. Однако, если объем выборки не фиксирован, то требования к обнаружителю должны формулироваться иначе. Например, можно предъявить к обнаружителю требование минимизации среднего времени принятия решения при заданных ограничениях на вероятности пропуска цели и ложной тревоги (критерий Вальда или критерий последовательного наблюдателя). В этом случае, как показано Вальдом, в качестве решающей статистики также используется отношение правдоподобия (ОП), но процедура принятия решения становится последовательной и двухпороговой. Если для данной выборки ОП ниже первого порога, то принимается решение об отсутствии сигнала, если ОП выше второго порога - принимается решение об наличии сигнала, в остальных случаях принимается решение о продолжении наблюдения (увеличения объема выборки). Следует подчеркнуть, что реализация критерия последовательного наблюдателя дает выигрыш лишь в среднем времени принятия решения. В каждом конкретном испытании время принятия решения будет различным и может оказаться весьма большим. Поэтому этот критерий не целесообразно применять тогда, когда время принятия решения ограничено.

Время реализации критерия принятия решения в реальных условиях определяется продолжительностью обследова­ния элементов разрешения, что, например, в ШПС соответ­ствует времени перемещения ДН в пространстве на величи­ну θ0,7, а в ГЛС – длительности импульса.

Важно подчеркнуть, что при использовании любого из названных выше критериев основная часть обнаружителя - блок вычисления отношения правдоподобия, осуществляющий оптимальную обработку сигналов, не зависит от вида используемого критерия, а зависит только от модели сигнала и помехи. В качестве примера рассмотрим оптимальный алгоритм обработки при обнаружении детерминированного сигнала, форма которого точно известна.

Обнаружение детерминированного сигналана фоне стационарного гауссовского шума. Пусть при отсутствии сигнала входная выборка представляет собой выборку стационарного гауссовского шума, при наличии сигнала - сумму детерминированного сигнала известной формы и гауссовского шума. Определим алгоритм вычисления отношения правдоподобия (оптимальный алгоритм обработки).

Имеем:

(4.20)

где n = (n_о, n₁,..., n_N-1)^T - вектор шумовой помехи; s = (s_o, s_1,..., s_N-1)^T - вектор сигнала.

Для простоты положим, что отсчеты помехи не коррелированы, тогда " i, j = 0,N-1

M[n_i]=0 (4.21)

M[n_in_j]=s²d_ij (4.22)

где - символ Кронекера

Определим условные плотности распределения вероятностей входной выборки при отсутствии и наличии сигнала. Пусть сигнал отсутствует, следовательно x = n.

Тогда с учетом (4.21) (4.22) для плотности вероятности входной выборки имеем:

f_n(x) = f_i(x_i) = =

= (4.23)

При наличии сигнала можно записать x = n + s.

Тогда, учитывая, что s_i - неслучайные величины, будем иметь:

M[x_i]=M[n_i+s_i]=s_i (4.24

M[(x_i-s_i)(x_j-s_j)]=s²d_ij (4.25)

Плотность вероятности входной выборки в этом случае с учетом независимости ее элементов и ненулевого математического ожидания, как следует из (4.24) и (4.25), запишется в виде:

f_ns(x)= (4.26)

Найдем отношение правдоподобия:

L(x) = = (4.27)

Таким образом, решающее правило для обнаружения детерминированного сигнала может быть представлено в виде:

> l (4.28)

После элементарных операций получим:

x_is_i > l_* (4.29)

Из (4.29) видно, что оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала представляет собой совокупность коррелятора и порогового устройства (см. рис. 4.2)

Рис.4.2

Согласованный фильтр. Можно показать, оптимальный алгоритм обработки при обнаружении детерминированного сигнала может быть реализован с помощью линейного фильтра с постоянными параметрами, импульсная характеристика которого является связана с обнаруживаемым сигнал соотношением , где - длительность импульса. Такой фильтр называется согласованным (с сигналом). В этом случае структура оптимального обнаружителя принимает вид:

Рисунок 4.3 Структура обнаружителя сигнала известной формы в частотной области

Фильтр, максимизирующий отношение сигнал/помеха. К идее согласованной фильтрации можно придти, если поставить задачу отыскания такого линейного фильтра, который для данного вида сигнала максимизирует отношение сигнал/помеха на выходе. Под отношением сигнал/помеха в данном случае понимается следующее:

(4.30) (4.110)

где - значение комплексной огибающей сигнальной составляющей на выходе фильтра; N - средняя мощность помехи.

Средняя мощность помехи на выходе фильтра может быть выражена как

(4.31)

где - спектральная плотность мощности помехи на входе фильтра, определенная для всей области поло­жительных и отрицательных частот.

Огибающая на выходе фильтра может быть представлена в виде:

= (4.32)

где h(t) - импульсная реакция фильтра; - преобразование Фурье ; ; - комплексная огибающая входного сигнала.

Учитывая, что комплексная огибающей входного сигнала точно описывает его форму на интервале , для любого момента времени можно записать:

(4.33) Соответствующее выходное отношение сигнал/помеха на выходе фильтра в момент t=T_s равно:

(4.34)

Необходимо найти такую передаточную функцию фильтра , которая аксимизирует выражение (4.30). Для этой цели можно воспользоваться известным неравенст­вом Шварца-Буняковского в форме:

, (4.35)

где и - некоторые комплексные функции. Равенство в (4.35) достигается лишь тогда, когда функции и являются “сопряженно параллельными”
т.е. когда

= k , (4.36)

где k - произвольное комплексное число. Если обозна­чить функции , следующим образом:

(4.37)

то неравенство (4.35) запишется в виде:

(4.38)

При этом в соответствии с (4.36) равенство в выражении (4.38) достигается лишь тогда, когда комплексная передаточная характеристика равна:

(4.39)

Если (4.39) подставить в (4.30), то максимальное значение отношения сигнал/помеха на выходе фильтра будет равно:

(4.40)

Оптимальный фильтр, коэффициент передачи которого опре­деляется выражением (4.120), является согласованным с комплексной огибающей принимаемого сигнала.

Рис. 4.4. Принцип сложения фаз в согласованном фильтре

Амплитудно-частотная характеристика согласованно­го фильтра должна быть пропорциональна отношению амплитудного спектра сигнала к спектральной плот­ности мощности помехи на каждой данной часто­те. Фазовый сдвиг оптимального фильтра на каждой час­тоте компенсирует начальную фазу элемента ожидаемого сигнала на этой частоте, и, кроме того, вносится сдвиг фазы, линейно завися­щий от частоты и эквива­лентный задержке на время T_s.. Благодаря этому в момент отсчета t=T_s все спектральные составляющие выходного сигнала имеют фазу, равную нулю, и при сложении дают максимальный выходной эффект, как показано на рисунке 4.4, поскольку фа­зовая характеристика такого фильтра определяется выра­жением:

(4.41)

где фазовый спектр входного сигнала.

На основании выражения (4.120) можно найти импульсную переходную характеристику согласованного фильтра (опуская постоянный коэффициент k):

(4.42)

Отсюда импульсная переходная характеристика согласованного фильтра равна:

, (4.43)

т.е. является зеркальным отображением сигнала во вре­менной области. Другими словами, из (4.42) или из (4.43) во временной области следует, что согласованный фильтр на своем выходе формирует взаимную КФ между входным процессом и полезным сигналом, сдвинутым на T_s, обеспечивая на своем выходе максимальное отношение сигнал/помеха.

На рисунке 4.5 видно, что максимальное напряжение сигна­ла на выходе согласованного фильтра получается в момент t=T_s. Для физи­чески реализуемого фильтра всегда должно выпол­няться условие h(t)=0 при t<0, которое вы­ражает тот факт, что от­клик не может начаться раньше момента приложе­ния входного воздействий. Следовательно, для реа­лизации фильтра следует считать, что s_вх(t) обращается в нуль при t>T_s.

Другое условие фи­зической реализуемости оптимального фильтра состоит в том, что при функция h(t) должна стремиться к ну­лю.

Это означает, что отклик на импульс в конце концов затухает. Такое усло­вие необходимо для обеспечения устойчивости системы.

Физическую реализуемость фильтра можно также оп­ределять с помощью частотного критерия Пэли-Винера, для выполнения которого достаточно, чтобы амплитудно-частотная характеристика фильтра была интегрируема в квадрате, т.е.

(4.44)

Если этому условию не удовлетворяет, то система имеет непричинную импульсную реакцию, существую­щую еще до того, как к системе приложено воздействие. Фильтр с такой амплитудно-частотной характеристикой физически не реализуется.

В практических задачах гидроакустики реализация оптимальных фильтров определяется не только физичес­кими условиями, но и техническими возможностями. В связи с этим широко используют квазиоптимальные фильт­ры, в которых максимум отношения сигнал/помеха на вы­ходе фильтра обеспечивается соответствующим подбором ширины полосы пропускания фильтра при заданной форме частотной характеристики. Сопоставление оптимальных и субоптимальных фильтров показывает, что в случае, ког­да фазовая характеристика фильтра не играет существен­ной роли, вполне допустимо ограничиваться квазиопти­мальной фильтрацией.

Так, например, исследования, выполненные В.М.Сифоровым для одиночного радиоимпульса с прямоугольной огибающей, показывают, что при использовании идеального полосового фильтра с полосой пропускания на фоне помехи типа "белый шум" максимум отношения сиг­нал/помеха по мощности на выходе фильтра получается при ширине полосы =1,37Т^-1, где Т - длительность импульса.

Рассмотрим частный случай, когда помеха представляет собой узкополосный белый шум с односторонней (по­стоянной для всех частот) спектральной плотностью F₀ в полосе частот сигнала. Тогда в выражении (4.40) сле­дует положить , и максимальное отношение сигнал/помеха в этом случае получается равным:

(4.40)

При узкопо­лосном приеме спектральную плотность мощности помехи в полосе частот фильтра практически можно принимать равномерной. Если прием осуществляется в достаточно широкой полосе, то это допущение неприемлемо, так как реальный спектр помех обычно является нерав­номерным. В этом случае можно применить "обеление" по­мехи. Для этого достаточно пропустить реальный шум с произвольным неравномерным спектром через дoпoлнитeльный фильтр, преобразующий помеху в отрезок белого шу­ма. Передаточная характеристика такого "выбеливающего" фильтра определяется выражением:

(4.41)

где - реальный (небелый) спектр помехи; некоторая постоянная величина.

При прохождении через дополнительный фильтр сиг­нала со спектральной функцией на его выходе получается сигнал, спектральная плотность которого

(4.42) При прохождении через дополнительный фильтр помехи со спектральной плотностью мощности она превра­щается в шум с равномерным энергетическим спектром:

(4.43)

Тогда передаточную характеристику основного фильтра можно представить в виде:

(4.44)

В этом случае передаточная характеристика всей систе­мы, состоящей из последовательно соединенных основно­го и дополнительного фильтров имеет вид:

. (4.45)

Эта формула совершенно аналогична, с точностью до постоянного множителя F₀ выражению (4.39), определяю­щему передаточную характеристику оптимального фильтра для белого шума.