![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Важным свойством (1.15) является возможность значительного упрощения вычислительной процедуры путем использования рекуррентной схемы, исключающей необходимость инверсии гауссовской нормальной матрицы полной размерности.
Возвращаясь вновь к модели измерителя (1.11), запишем матричное уравнение, соответствующее т измерениям, с индексами (m)
(1.28)
Так как учет результата каждого последующего измерения связан с изменением числа строк матрицы H и размерности векторов у и v, то, вообще говоря, оценка может производиться с помощью (1.15). Если при этом воспользоваться методом наименьших квадратов со взвешиванием измерений, то критерий качества
(1.29)
содержащий ковариационную матрицу, принимает минимальное значение, если оценка x выполняется путем решения матричного уравнения
(1.30)
Индекс означает, что оценка
размерности (n х1) производится
по т измерениям (априорное оценивание).
Предположим, что выполнено (m +1) - oe измерение ут+1, Н m +1 и vm+ 1. Тогда новое измерение, согласно (1.28), можно представить с помощью уравнения
(1.31)
Присоединим (1.31) к системе (1.28) с помощью блоков
(1.32)
Новая апостериорная оценка состояния должна производиться по числу измерений, использованных в (1.32):
(1.33)
Размерность вектора оцениваемых параметров (переменных состояния) с добавлением новых измерений не изменяется. Однако численные значения его элементов зависят от присоединенных данных. Тот факт, что добавление каждого нового результата измерений требует повторного выполнения всех операций, определенных (1.33), свидетельствует о возрастании объема вычислений с увеличением размерности матрицы H. Вместе с тем, объем рутинных вычислений можно значительно уменьшить, если новые измерения учитывать как поправки, вносимые в значения уже имеющихся оценок. При этом исключается необходимость операций над матрицами высокой размерности; соответственно, повышается эффективность вычислительных алгоритмов и машинных программ, используемых в
процессе управления технологическими комплексами. Для получения эффекта взвешивания измерений с помощью элементов ковариационной матрицы необходимо разделить на блоки соответствующих размерностей
(1.34)
т.е., согласно (1.34) не производится взвешивания произведения ошибок на первых т и последующих измерениях. Взамен же получаются эффективные вычислительные алгоритмы, уменьшающие объем вычислений, выполняемых в процедурах оценивания, на несколько порядков.
Используя существующие методы преобразования блочных матриц, можно преобразовать информационную матрицу, входящую в уравнение (1.33), к следующему виду [27]:
(1.35)
Введем обозначения:
и
тогда уравнение (1.35) можно записать
а инверсия
(1.36)
Применив к (1.36) лемму об обращении матриц, содержащуюся в работе [9], получим рекуррентную формулу
(1.37)
Если вектор измерений ут+ 1в уравнении (1.4-4) вырождается в скалярную величину, то матрица также будет скалярной величиной, и, следовательно, ее обращение не представляет труда.
Если, например, и
, то (1.37) принимает вид
(1.38)
Получен очень полезный результат, поскольку для нахождения новой оценки нет необходимости в инвертировании матрицы большой размерности с присоединением новых измерений. Новая оценка состоит из оценки на предыдущем шаге, с которой суммируется поправочный коэффициент, полученный по измерениям ym+ 1, a и M m:
(1.39)
Возвращаясь к разности между оценочным и истинным значениями параметров и переходя к осредненным оценкам, можно определить ковариационную матрицу с помощью формулы
(1.40)
Используя (1.40), мы также можем получить рекуррентное соотношение, подобное (1.38) для :
(1.41)
Нетрудно заметить, что ковариационная матрица согласно(1.41), с увеличением т всегда уменьшается и в пределе стремится к нулю. Следовательно, оценка
является не только несмещенной, но и состоятельной - это является исключительно важным свойством метода наименьших квадратов.
Рекуррентное оценивание начинается с заданных значений x 0 и M 0. Если они не заданы, а имеется в наличии система из n уравнений, следует получить M n, х n, а затем с помощью (1.30) выполнить последующие оценки.
Для получения рекуррентного алгоритма в общем случае (для вектора ym+ 1) введем обозначение части второго слагаемого (1.37):
Поскольку уравнение (1.33) можно записать в виде
то, подставляя в него выражение (1.37), можно записать
Обращаясь вновь к специально выбранной форме ковариационной матрицы (1.33), с учетом того, что произведение
можно получить оценку в виде
Это выражение, представляющее собой рекурсивный оцениватель, получено с учетом того, что если в предшествующей формуле первое слагаемое в правой части умножить на М m, оно будет представлять оценку (без учета новых данных).
Необходимо отметить, что каждое последующее значение оценки следует производить по предыдущей с добавлением поправки, зависящей от размерности у(m+ 1 ) и ожидаемого значения
"Работу" рекурсивного оценивателя продемонстрируем на следующем примере.
Предположим, что требуется оценить коэффициенты модели
по следующим экспериментальным данным в пяти точках на плоскости (x,y):
(0, l); (l, 2); (2, 4); (4, 5); (5, 6).
Сформируем матрицу H и вектор у:
Будем считать, что требуется рекурсивно оценить коэффициенты а и b по следующим данным:
на первом шаге
на втором шаге
Решение выполним для и
Для оценки используем операцию левого деления
Затем определим M1:
Для расчета M 2 по формуле (1.4-10) предварительно найдем матрицу D
Используя D, получим
Оценка коэффициентов а и b на втором шаге, согласно уравнению рекурсивного оценивателя, будет состоять из оценки x 1 и дополнительной составляющей, определяющей "вклад" экспериментальных данных на втором шаге. Поскольку , для оценки используем выражение
Для вычислений мы предлагаем фрагмент программы, содержащий исходные данные, из которых путем "вырезки" из матрицы H получены H 1, H 2, y 1 и у 2. По приведенным выше соотношениям рассчитаны M 1, D, М 2 и получены и
.
Рекуррентньм метод оценивания параметров
y = [l 2 4 5 6]';H = [0 1 2 4 5; 1 1 1 1 1]’;
Hl = H (l:3,:);
H2 = H (4:5,:);
yl = y (l:3);
y2 = y (4:5);
Ml = inv (Hl' *Hl);
D = inv ([l 0; 0 l]+Hl*Ml*H2');
M2 = Ml-Ml*H2'*D*H2*Ml;
Вычисление оценок:
xl = Hl\yl;
x2 = xl+M2*H2'*(y2-H2*xl)
Проверка решения выполнена путем использования прямой оценки по формуле
Этот результат эквивалентен .
Таким образом, модель имеет вид
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 567 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!