Для существования точного решения уравнения (1.1) должно вы­полняться условие

rank(A) = = n, (1.4)

где (n 𝗑 n) — размерность квадратной матрицы A.

Возвращаясь к примеру (1.3), получим

rank( A ₁)= 2;

= 3,

т.е. условие (1.4) не соблюдается, и точное решение не существует, поскольку

Ранг прямоугольной матрицы размерности (m Ч n) не обязательно ра­вен min{m,n}, т.е.

rank(A) £ min{m,n}.

Если же

rank(A) = min{m,n},

то принято считать, что A имеет полный ранг.

Рассмотрим систему уравнений

где

Определим ранг двух матриц

rank( A ₃ ) = 2,

Заметим, что число столбцов А ₃ больше числа строк и соблюдается условие

rank(A ₃) = rank([ A ₃ • b ₃ ]) < n.

Поэтому мы получим множество решений для вектора

x = [x₁ х₂ х₃]^т.

Таковыми, например, являются

х = [- 1 1 0]^Т; х = [0.3333 0.6267 -0.0533]^Т и другие.

Если А ₃ имеет размерность (m Ч n), причем т <n, то ее полный ранг равен т. Тогда множество любых т независимых векторов, составленное из столбцов A ₃, образует базис матрицы. Из этих столбцов можно образовать квадратную матрицу B размерности (m Ч m}, которая может быть под­матрицей A ₃

A ₃ = [ B N ], (1.5)

где N состоит из столбцов, не вошедших в B. Размерность N равна [ m ´(n - m)].

Согласно (1.5) можно произвести разложение вектора x на состав­ляющие

x = [ x _B x _N ]^T, размерности которых, соответственно, т и (n - m). Вектор x _B cостоит из базисных переменных, a x _N содержит небазисные переменные.

Очевидно, исходную систему линейных уравнений (1.1) в этом случае можно записать

[B N] (1.6)

Полагая х _N = 0, мы можем точно определить x_B:

(1.7)

поскольку в этом случае выполняется условие (1.4).

Концепция базиса матрицы играет фундаментальную роль в ли­нейном программировании. Располагая множеством базисных решений, мы в принципе можем выбрать наилучшее из них в определенном крите­риальном смысле. Однако процедура выбора - достаточно сложная задача, решаемая методами математического программирования на компьютерах при наличии соответствующего программного обеспечения.

Возвратимся вновь к линейному уравнению (1.1). Если размер­ность A равна (m Ч n}, причем т > n, то система оказывается переопреде­ленной. B этом случае число уравнений больше числа неизвестных, и в процессе решения такой системы мы можем найти оценку вектора x, отве­чающую в наилучшей степени всем уравнениям переопределенной систе­мы. Такой "наилучшей" оценкой может быть, например, минимум эвкли­довой нормы вектора

(1.8)

где - оценка вектора x размерности (n ´ 1).

Напомним, что z имеет размерность (m ´ l) и остановимся на данном вопросе более подробно.