Разделив период T на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах)

.

Для нахождения угла в i -ой точке, где i= 0 24, можно воспользо­ваться простым соотношением

i = 0, …, 12,

на основании которого заполнена первая строка таблицы 1.2.

Из данных второй строки образуем вектор выхода

y ₁ = [12.7 33.8 52.0 … 4.2 -12.7]^T

размерности (13Ч1).

Чтобы придать уравнению (1.22) вид модели (1.19), воспользуемся тождественным преобразованием

(1.23)

Введем обозначения

Эти величины в уравнении (1.23) являются постоянными. u(w₀ t) является скалярной величиной. Она может быть получена в виде произве­дения двух векторов: вектор-строки [sinw₀ t cos w₀ t sin 2w₀ t cos 2w₀ t sin 3w₀ t cos 3w₀ t] и вектор-столбца х, образованного из элементов

x = [x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)]^T, т.е

u(w₀ t) =[sinw₀ t cos w₀ t sin 2w₀ t cos 2w₀ t sin 3w₀ t cos 3w₀ t]

Вектор x является искомым вектором, содержащим шесть неизвест­ных коэффициентов. Для их оценивания, согласно (1.10), требуется соста­вить число уравнений т > 6. Мы выбрали т = 13 и привели эти данные в таблице 1.2.

C помощью вектор-строки приведенного выше уравнения сформиру­ем матрицу H размерности (13Ч6), где каждая i -ая строка должна содер­жать значения элементов, соответствующие углу alf(i), приведенному в i - ой ячейке первой строки таблицы. B среде MatLAB эта операция выполня­ется в режиме прямых вычислений

alf=0:15:180;

bet = alf.*(pi/180);

H = [sin(bet)' cos(bet)' sin(2*bet)' cos(2*bet)'

sin(3*bet)' cos(3*bet)']

H =

0 1.0000 0 1.0000 0 1.0000

0.2588 0.9659 0.5000 0.8660 0.7071 0.7071

0.5000 0.8660 0.8660 0.5000 1.0000 0.0000

0.7071 0.7071 1.0000 0.0000 0.7071 -0.7071

0.8660 0.5000 0.8660 -0.5000 0.0000 -1.0000

0.9659 0.2588 0.5000 -0.8660 -0.7071 -0.7071

1.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 -1.0000 0.0000

0.9659 -0.2588 -0.5000 -0.8660 -0.7071 0.7071

0.8660 -0.5000 -0.8660 -0.5000 0.0000 1.0000

0.7071 -0.7071 -1.0000 0.0000 0.7071 0.7071

0.5000 -0.8660 -0.8660 0.5000 1.0000 0.0000

0.2588 -0.9659 -0.5000 0.8660 0.7071 -0.7071

0.0000 -1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -1.0000

>>

Можно убедиться, что H имеет полный ранг: rank(Н)=6. Поэтому существует ее обратная матрица . Следовательно, для оценки x можно использовать уравнение (1.15).

Используя выражения для x (l)и x (2), определим амплитуду первой гармоники U_1m и фазу Q₁

Угол Q₁ (в градусах) найдем с помощью уравнения

Аналогично определим U_2m, Q₂, U_3m и Q₃

Следовательно, напряжение u(w₀ t), в соответствии с (1.22), может быть записано с помощью уравнения

(1.24)

при условии, что w₀ t имеет размерность "градусы".

B полученном уравнении (1.24) амплитуда напряжения первой гар­моники более чем на два порядка превышает амплитуду второй гармоники. Поэтому при выполнении инженерных расчетов второй гармоникой можно пренебречь, а в величинах аргументов первой и третьей гармоник - учесть лишь десятые доли градуса. Тогда получим

(1.25)

Все приведенные выше расчеты в среде MaiLAB могут быть выпол­нены в режиме прямых вычислений, без составления машинных программ. B случае автоматизации вычислительного процесса необходимо иметь в виду, что в составе вектора x* могут быть элементы равные нулю. Если, например, (3)и (4)равны нулю, то при получении U_2m=0 из цикла должна исключаться операция расчета Q₂, поскольку будет представлять собой неопределенность типа 0/0, и последующие вычисления на ПЭВМ прекратятся.

Чтобы оценить погрешность вычислений, вызванную ограничением разрядов чисел, содержащихся во второй строке таблицы 1.2, возвратим­ся к уравнению (1.26) — модели процесса, которая в действительности ис­пользована для получения экспериментальных данных и составления таблицы:

(1.26)

Видно, что вторая гармоника в составе сигнала отсутствовала. Повы­сим точность измерений и представим вектор у следующими данными:

y = [l2.6937 33.7823 52.0270 60.8661 57.8116 45.7234...

31.0608 20.1415 15.5952 15.0802 12.9958 4.1658 -12.6937]Т

B этом случае у условно можно считать вектором детерминирован­ных сигналов.

Чтобы убедиться практически в отсутствии шума в элементах у, оце­ним вновь искомые величины с помощью метода наименьших квадратов. B результате получим

(1.27)

Используя элементы вектора-столбца (1.27) для оценки амплитуд и фаз гармоник, будем иметь

Таким образом, оценочные значения практически совпадают с при­нятыми исходными данными.

Теперь определим вектор шума z, представляющий собой разность между у и у ₁:

z = y – y₁ = [-0.0063 -0.0177 0.0270 -0.0339 0.0116 0.0234...

-0.0392 0.0415 -0.0048 -0.0198 -0.0042 -0.0342 0.0063]^T

Для оценки z используем критерий (1.13)

Аналогичный результат получим, если воспользуемся эвклидовой нормой согласно правилу (1.18). Вычисления в среде MatLAB выполним с помощью оператора

Заметим, что полученные величины J не характеризуют "качество" моделирования. Адекватность модели и объекта, представленного векто­ром y ₁, может быть установлена по вектору z ₁, где

z ₁ = y ₁ – y _м= [-0.0056 0.0166 -0.0271 0.0309 -0.0150 -0.0223...

0.0462 -0.0330 0.0660 0.0091 -0.0166 0.0153 -0.0061]^Т

Вектор у _м, в свою очередь, следует восстановить, используя матрицу H и вектор наилучшей оценки

y _м = = [l2.7056 33.7834 52.0271 60.8691 57.8150 45.7223...

31.0538 20.1330 15.5934 15.0909 13.0166 4.1847 -12.6939]^T